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我們有一個半圓O，AB是直徑。C是半圓弧上的一點，過C點作半圓的切線，這條切線與直徑AB的延長線相交於P點。已知半圓的半徑為r，且AC等於五分之六r。我們需要找到角APC的角平分線將AC分成的比值CD比DA。
現在分析切線的重要性質。首先，切線垂直於過切點的半徑，所以OC垂直於CP。在直角三角形OCP中，我們知道OC等於r，AC等於五分之六r。由於C在半圓上，根據泰勒斯定理，角ACB是直角。利用畢達哥拉斯定理，我們可以計算出BC等於五分之四r。
現在我們作角APC的角平分線。這條角平分線與AC相交於D點，與BC相交於E點。角平分線的定義是將一個角分成兩個相等的角，所以角APD等於角DPC。現在我們已經建立了完整的幾何圖形，包含了所有相關的點和線段，準備應用角平分線定理來解決問題。
現在應用角平分線定理。在三角形APC中，角平分線PD將對邊AC分成的兩段之比等於相鄰兩邊之比，即CD比DA等於PC比PA。我們需要計算PA和PC的長度。PA等於三分之五r，PC等於三分之四r。將這些值代入公式，得到CD比DA等於五分之四。
現在進行最終的數值計算。通過畢達哥拉斯定理和餘弦定理，我們可以精確計算出PA等於三分之五r，PC等於三分之四r。將這些數值代入角平分線定理的公式，得到CD比DA等於PC比PA，即四分之三r除以五分之三r，最終結果是五分之四。因此，答案是CD除以DA等於五分之四。