Mtro. Miguel Ángel Hernández Cruz Instituto Tecnológico Superior de Occidente del Estado de Hidalgo 2.3 Introducción a la probabilidad. 2.3.1 Definición y expresión. 2.4 Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes. 2.5 Eventos independientes, dependientes y probabilidad condicional. 2.6 Teorema de Bayes. 2.7 Valor esperado o esperanza matemática.

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La probabilidad es una medida matemática que cuantifica la posibilidad de que ocurra un evento específico. Se define como el cociente entre los casos favorables y los casos totales posibles. Su valor siempre está entre cero y uno. Por ejemplo, al lanzar un dado, la probabilidad de obtener un número par es tres sextos, igual a un medio. Con una moneda, la probabilidad de obtener cara es un medio. Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. En este caso, la probabilidad de la unión es simplemente la suma de las probabilidades individuales. Sin embargo, cuando los eventos no son mutuamente excluyentes, debemos restar la probabilidad de la intersección para evitar contar dos veces los casos comunes. Los diagramas de Venn nos ayudan a visualizar estas relaciones. Por ejemplo, al sacar una carta, obtener un corazón y una espada son eventos mutuamente excluyentes. Los eventos pueden ser independientes o dependientes. En eventos independientes, la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro, y la probabilidad de ambos es el producto de sus probabilidades individuales. En eventos dependientes, un evento afecta la probabilidad del otro, lo que nos lleva al concepto de probabilidad condicional. Por ejemplo, al extraer cartas con reemplazo, los eventos son independientes, pero sin reemplazo son dependientes porque la primera extracción cambia la composición del mazo. El Teorema de Bayes es fundamental para calcular probabilidades inversas. Nos permite actualizar nuestras creencias iniciales con nueva evidencia. La fórmula relaciona la probabilidad a priori con la probabilidad a posteriori. En medicina, es crucial para interpretar pruebas diagnósticas. Por ejemplo, aunque una prueba tenga alta sensibilidad y especificidad, si la enfermedad es rara, un resultado positivo puede tener baja probabilidad de indicar realmente la enfermedad. La probabilidad es una medida matemática que cuantifica la posibilidad de que ocurra un evento específico. Se define como el cociente entre los casos favorables y los casos posibles. Sus valores siempre están entre cero y uno, donde cero indica imposibilidad y uno certeza absoluta. Existen varias definiciones de probabilidad. La definición clásica divide casos favorables entre casos posibles. La definición frecuentista se basa en la frecuencia relativa cuando el número de experimentos tiende a infinito. Los axiomas de Kolmogorov proporcionan una base matemática rigurosa para la teoría de probabilidades. Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Su intersección es vacía y la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades individuales. En contraste, los eventos no excluyentes pueden ocurrir simultáneamente, por lo que debemos restar la intersección para evitar contar dos veces. Los eventos independientes no se afectan mutuamente. La probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades individuales. Los eventos dependientes sí se influyen entre sí. La probabilidad condicional mide la probabilidad de un evento dado que otro ha ocurrido, y se calcula dividiendo la intersección entre la probabilidad del evento condicionante. El teorema de Bayes es fundamental en estadística bayesiana. Permite actualizar nuestras creencias sobre la probabilidad de un evento cuando obtenemos nueva información. Es especialmente útil en diagnósticos médicos, donde una prueba positiva no significa certeza de enfermedad, sino que debemos considerar la prevalencia en la población. El valor esperado o esperanza matemática representa el promedio ponderado de todos los posibles resultados de una variable aleatoria. Se calcula multiplicando cada valor por su probabilidad y sumando todos los productos. Tiene propiedades lineales importantes. Por ejemplo, en un dado justo, el valor esperado es tres punto cinco. En juegos de azar, el valor esperado nos indica si el juego es favorable o no a largo plazo. En resumen, hemos explorado los conceptos fundamentales de la probabilidad. Desde las definiciones básicas hasta el teorema de Bayes y el valor esperado, cada concepto proporciona herramientas para analizar situaciones con incertidumbre. Estas herramientas son esenciales en estadística, finanzas, ingeniería, inteligencia artificial y muchas otras áreas donde debemos tomar decisiones basadas en información incompleta.