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信号与系统分析是电子工程和通信技术的重要基础。在这个领域中，我们需要用特殊的数学函数来描述和分析各种信号的特性。这些函数包括单位阶跃函数、单位冲激函数、指数函数、正弦余弦函数以及各种特殊波形函数。每种函数都有其独特的数学性质和物理意义，是分析线性时不变系统的重要工具。
单位阶跃函数是信号与系统分析中最基础的函数之一。它的数学定义很简单：当时间小于零时函数值为零，当时间大于等于零时函数值为一。这个函数在零点处发生跳跃，代表了开关信号的数学模型。阶跃函数是构造其他复杂信号的基本构建块，比如我们可以用两个阶跃函数的差来构造矩形脉冲信号。
单位冲激函数是信号与系统分析中最重要的奇异函数。它具有无穷大的幅度、无穷小的宽度，但积分面积为1的独特性质。冲激函数是阶跃函数的导数，具有重要的筛选性质，能够从任意函数中提取出特定时刻的函数值。在实际中，我们可以用越来越窄、越来越高但面积保持为1的脉冲来逼近冲激函数。它是线性时不变系统分析的核心工具。
指数函数族是信号与系统分析中最重要的函数族。实指数函数e的at次方，当参数a大于零时表现为增长特性，当a小于零时表现为衰减特性。复指数函数通过欧拉公式将指数函数与三角函数联系起来，是傅里叶分析的基础。指数函数作为线性时不变系统的特征函数，在频域分析中具有核心地位。
正弦余弦函数是周期信号的基本形式，通过幅度、频率和相位三个参数完全确定。它们在频域分析中具有重要地位，是傅里叶级数的基础。除了基本的正弦余弦函数，信号分析中还常用到矩形波、三角波、锯齿波等特殊波形。这些波形可以用基本函数构造，并且具有特定的频谱特性，在通信系统和信号处理中有广泛应用。