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同学们好！今天我们来解决一个有趣的不等式问题。已知正数x和y满足x加y等于x乘以y，我们要求x加2y的最小值。首先，让我们理解这个约束条件。将x加y等于xy两边同时除以xy，得到1除以y加1除以x等于1。这个变形非常关键，它将乘法约束转化为了倒数和的形式，为后续应用不等式创造了条件。
现在我们来进行参数化处理，这是解决这类问题的关键技巧。既然我们有1除以x加1除以y等于1，不妨设1除以x等于t，那么1除以y就等于1减t。这样我们得到x等于1除以t，y等于1除以1减t。由于x和y都是正数，所以t必须在0到1之间。将这些代入目标函数，我们得到x加2y等于1除以t加2除以1减t。看右边的动画，当参数t变化时，x和y的值也随之变化。
现在我们运用基本不等式来求解最值。对于表达式1除以t加2除以1减t，我们可以巧妙地变形。将其写成1除以t加1除以1减t再加1除以1减t的形式。由于我们知道1除以t加1除以1减t等于1，所以原式等于1加1除以1减t。应用基本不等式，1除以t加1除以1减t大于等于4除以t加1减t等于4。等号成立当且仅当t等于1减t，即t等于二分之一。右图显示了函数的图像，可以看到在t等于二分之一时取得最小值。
现在我们用柯西不等式提供另一种解法。柯西不等式告诉我们，对于两个向量，它们模长的乘积大于等于它们数量积的平方。我们巧妙地构造两个向量：向量a的分量是根号下1除以t和根号下2除以1减t，向量b的分量是根号t和根号下1减t。计算它们的数量积得到1加根号2，向量a的模长平方就是我们要求的表达式，向量b的模长平方等于1。应用柯西不等式，我们同样得到最小值为3加2倍根号2。右图展示了这两个向量的几何关系。
最后我们来验证答案的正确性。当t等于二分之一时，x等于2，y也等于2。我们验证一下：x加y等于4，xy也等于4，确实满足约束条件x加y等于xy。此时目标函数x加2y等于2加4等于6。让我们总结一下解题过程：首先将约束条件巧妙变形，然后进行参数化处理，接着运用不等式求解，最后验证结果。我们用了两种方法：基本不等式和柯西不等式，都得到了相同的答案。因此，x加2y的最小值为3加2倍根号2。