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同学们好！今天我们要解决一个非常有趣的不等式问题。这就像是数学界的侦探游戏，我们需要从已知条件中找到线索。题目告诉我们，正数x和y满足x加y等于x乘以y，我们要求x加2y的最小值。看起来简单，但其中蕴含着巧妙的数学技巧。让我们先在坐标系中画出约束条件的图像，这条红色曲线就是我们的约束条件。
现在我们要施展数学魔法了！看这个约束条件x加y等于xy，我们两边同时除以xy，得到x加y除以xy等于1。这样就变成了1除以y加1除以x等于1。这时候我们来个华丽的换元，设u等于1除以x，v等于1除以y，那么约束条件就变成了u加v等于1，而且u和v都是正数。看右边的图，这就是一条简单的直线！原来复杂的双曲线变成了直线，这就是数学变换的魅力。
现在我们要把目标函数也用新变量表示。原来的目标函数是x加2y，由于x等于1除以u，y等于1除以v，所以目标函数就变成了1除以u加2除以v。结合约束条件u加v等于1，我们的问题就转化为：在约束条件u加v等于1，且u、v都大于0的条件下，求函数f等于1除以u加2除以v的最小值。看右边图中的几个点，我们可以计算出不同位置的函数值，这样我们就把原来复杂的问题转化为了一个标准的约束优化问题。
现在我们要施展参数化的魔法！利用约束条件u加v等于1，我们可以设u等于t，那么v就等于1减t，其中t的取值范围是0到1之间。这样，目标函数就变成了g(t)等于1除以t加2除以1减t。看！我们成功地把一个二元约束优化问题转化为了一元无约束优化问题。右边的图显示了函数g(t)的图像，可以看到当t接近0或1时，函数值会趋向无穷大，而在中间某处会有最小值。
现在我们用导数法来求最小值！对函数g(t)求导，得到g'(t)等于负1除以t的平方加2除以1减t的平方。令导数等于0，得到2除以1减t的平方等于1除以t的平方，化简后得到2t的平方等于1减t的平方。开方后得到根号2乘以t等于1减t，解得t等于1除以1加根号2。将这个值代入原函数，经过计算得到最小值为3加2倍根号2。因此，x加2y的最小值就是3加2倍根号2！