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导数是微积分的核心概念，它描述函数在某点的瞬时变化率。从几何角度看，导数就是函数图像在该点的切线斜率。我们通过割线逼近切线来理解导数的定义。当h趋近于0时，割线的斜率就趋近于切线的斜率，这就是导数的定义。
掌握导数的计算法则是求导的关键。基本函数的导数公式包括幂函数、三角函数、指数函数等。四则运算法则中，乘积法则和链式法则最为重要。链式法则用于复合函数求导，如求sin(2x+1)的导数，先对外层函数求导得到cos(2x+1)，再乘以内层函数2x+1的导数2。
微分是导数概念的延伸，定义为dy等于f'(x)乘以dx。微分的几何意义是切线的增量，它是函数增量的线性主部。当dx很小时，微分dy可以很好地近似函数增量Δy。这个性质使得微分在近似计算中非常有用，比如计算根号4.01的近似值。
导数在函数性质研究中有重要应用。通过导数的正负性可以判断函数的单调性：导数大于零时函数递增，导数小于零时函数递减。导数等于零的点可能是极值点。在实际问题中，我们经常利用导数求解优化问题，如在约束条件下求最大值或最小值。
通过综合例题来巩固导数与微分的应用。以函数f(x)等于x乘以e的负x次方为例，首先求导得到f'(x)等于e的负x次方乘以1减x。令导数等于零得到x等于1。分析导数的符号变化，当x小于1时导数大于零函数递增，当x大于1时导数小于零函数递减，所以x等于1是极大值点，极大值为1除以e。