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函数的连续性是微积分中的基本概念。直观地说，连续函数就是可以一笔画完的函数，其图像没有断裂或跳跃。而不连续函数则在某些点存在断点、跳跃或趋向无穷大的情况。让我们通过图像来理解这个概念。
函数的连续性有严格的数学定义。函数f(x)在点x=a处连续，当且仅当满足三个条件：首先，f(a)必须存在；其次，当x趋向于a时，f(x)的极限必须存在；最后，这个极限值必须等于f(a)。用数学符号表示就是：当x趋向于a时，f(x)的极限等于f(a)。
不连续主要有三种类型。第一种是可移除不连续，此时极限存在但不等于函数值，就像图中的空心点。第二种是跳跃不连续，左极限和右极限都存在但不相等，函数图像出现跳跃。第三种是无穷不连续，函数在某点趋向无穷大，如分母为零的情况。
许多常见的函数在其定义域内都是连续的。多项式函数在整个实数域上连续；指数函数在整个实数域上连续；对数函数在其定义域内连续；三角函数如正弦、余弦在整个实数域上连续，而正切函数在非奇点处连续。这些函数的连续性为我们进行微积分运算提供了基础。
连续函数具有许多重要的性质。中间值定理告诉我们，如果函数f在区间[a,b]上连续，且f(a)小于某个值k，k又小于f(b)，那么在a和b之间必定存在一点c，使得f(c)等于k。最值定理说明闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。这些性质在数学分析和实际应用中都非常重要。
函数连续性的严格定义基于极限概念。函数f(x)在点x=a处连续，当且仅当满足三个条件：首先，f(a)必须存在，即函数在该点有定义；其次，当x趋向于a时f(x)的极限必须存在；最后，这个极限值必须等于函数值f(a)。用数学符号表示就是：x趋向于a时f(x)的极限等于f(a)。这个定义可以用ε-δ语言精确描述。
判断函数在某点的连续性需要按照三个步骤进行。首先检查函数在该点是否有定义，即f(a)是否存在。然后计算当x趋向于a时f(x)的极限，检查这个极限是否存在。最后验证极限值是否等于函数值f(a)。只有这三个条件都满足，函数才在该点连续。让我们通过图像来演示这个判定过程。
不连续点主要分为三种类型。第一种是可去不连续点，此时极限存在但不等于函数值，或者函数在该点无定义，图像上表现为一个空心点。第二种是跳跃不连续点，左极限和右极限都存在但不相等，函数图像出现跳跃。第三种是无穷不连续点，函数在该点趋向正无穷或负无穷，通常出现在分母为零的情况。
连续函数具有许多重要性质。首先是运算性质：连续函数的和、差、积、商（分母不为零时）仍然是连续函数。其次是复合函数的连续性：如果g在x₀连续，f在g(x₀)连续，那么复合函数f∘g在x₀也连续。最重要的是中间值定理：如果函数在闭区间上连续，那么它具有介值性质，即函数值可以取遍两个端点值之间的任何值。