###你是一个高中数学老师下面我会给你一道数学题目，包含#stem# #analysis# ###stem### 如图，在棱长为2的正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，M，N，P分别是$BB_{1},DD_{1},C_{1}D_{1}$的中点，Q是侧面$BCC_{1}B_{1}$内的动点（含边界），则下列结论正确的是（） A. $A,B_{1},P,N$四点共面 B. 异面直线$CD_{1}$与$BC_{1}$所成的角为$\\dfrac{\\pi }{4}$ C. 当点Q在线段$B_{1}C$上运动时，三棱锥$A_{1}-BDQ$的体积为定值 D. 当$NQ=2\\sqrt{2}$时，点Q的运动轨迹的长度为$\\dfrac{2\\pi }{3}$ 题目中包含一张图片，图片url是 https://k12static.test.xdf.cn/k12/xkw/1752113112224/3c9fbdf5a1224257844d2bc7bd609f85.png ###analysis### 对A，由题可得$AB_{1}//DC_{1}$，$PN//DC_{1}$，得$AB_{1}//PN$得证；对B，连接$AD_{1},CD_{1},AC,BC_{1}$，可得异面直线$CD_{1}$与$BC_{1}$所成的角为$\\angle AD_{1}C$，求解判断；对C，由等体积法，可得$V_{{A_{1}}-BDQ}=V_{Q-{A_{1}}BD}$，求解判断；对D，由题可得点Q的运动轨迹是在侧面$BCC_{1}B_{1}$内以$CC_{1}$的中点为圆心，半径$r=2$的圆弧$\\overset{\\frown }{HMG}$，求解判断.对于A，如图1，在正方体中，易知$AB_{1}//DC_{1}$．又P，N分别是$C_{1}D_{1},DD_{1}$的中点，则$PN//DC_{1}$，所以$AB_{1}//PN$，即$A,B_{1},P,N$四点共面，故A正确；对于B，如图2，分别连接$AD_{1},CD_{1},AC,BC_{1}$，由题意，易知$BC_{1}//AD_{1}$，则异面直线$CD_{1}$与$BC_{1}$所成的角为$\\angle AD_{1}C$，易知$\\bigtriangleup AD_{1}C$为等边三角形，故$\\angle AD_{1}C=\\dfrac{\\pi }{3}$，故B错误；对于C，如图3，由等体积法，得$V_{{A_{1}}-BDQ}=V_{Q-{A_{1}}BD}$．因为$B_{1}C//A_{1}D$，可得$B_{1}C//$平面$A_{1}BD$，又点Q在线段$B_{1}C$上运动，所以点Q到平面$A_{1}BD$的距离为定值．又$S_{\\bigtriangleup {A_{1}}BD}$也为定值，所以$V_{Q-{A_{1}}BD}$为定值，即$V_{{A_{1}}-BDQ}=V_{Q-{A_{1}}BD}$为定值，且$V_{{A_{1}}-BDQ}=V_{Q-{A_{1}}BD}=V_{C-{A_{1}}BD}=V_{{A_{1}}-BCD}=\\dfrac{1}{3}S_{\\bigtriangleup BCD}\\cdot AA_{1}=\\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2}\\times 2\\times 2\\times 2=\\dfrac{4}{3}$，故C正确；对于D，如图4，取$CC_{1}$的中点$O$，易得$ON\\bot$平面$BCC_{1}B_{1}$，当$NQ=2\\sqrt{2}$时，点Q的运动轨迹是在侧面$BCC_{1}B_{1}$内以$CC_{1}$的中点$O$为圆心，半径$r=2$的圆弧$\\overset{\\frown }{HMG}$，在$\\mathrm{Rt}\\bigtriangleup OC_{1}H$中，由$OH=2$，$C_{1}O=1$，可得$\\angle C_{1}OH=\\dfrac{\\pi }{3}$，同理，$\\angle GOC=\\dfrac{\\pi }{3}$，所以圆弧$\\overset{\\frown }{HMG}$圆心角为$\\alpha =\\dfrac{\\pi }{3}$，所以点Q的运动轨迹的长度为$l=\\alpha r=\\dfrac{\\pi }{3}\\times 2=\\dfrac{2\\pi }{3}$，故D正确.故选：ACD. ###Target### 生成一个关于这道题目的解析讲解视频 ###Finish Step by Step### #Step1 充分理解题干stem以及题干的图片 #Step2 充分理解解析analysis #Step3 生成解题讲解视频 ###insructions### #1 风格布局左侧是文本右侧是图片 #2 按照解题步骤，如果要画图辅助，生成动画辅助

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我们来分析这道正方体几何题。首先建立坐标系，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2。我们可以看到M、N、P分别是BB₁、DD₁、C₁D₁的中点，Q是侧面BCC₁B₁内的动点。建立坐标系后，各顶点坐标如图所示，这为我们后续的计算提供了基础。现在分析选项A，判断A、B₁、P、N四点是否共面。我们用向量共面判定的方法。计算向量AB₁和PN，发现AB₁等于2倍的PN，说明这两个向量平行，因此四点共面。所以选项A是正确的。接下来分析选项B，求异面直线CD₁与BC₁的夹角。由于BC₁平行于AD₁，所以异面直线CD₁与BC₁的夹角就是∠AD₁C。通过计算可以发现，三角形AD₁C是等边三角形，所以角度是π/3即60度，而不是题目中的π/4。因此选项B是错误的。现在分析选项C，关于三棱锥A₁-BDQ的体积。当Q在线段B₁C上运动时，由于B₁C平行于A₁D，所以B₁C平行于平面A₁BD。这意味着Q到平面A₁BD的距离保持恒定，而底面积也是恒定的，因此体积为定值4/3。选项C是正确的。最后分析选项D，关于点Q的轨迹。当NQ等于2√2时，Q在侧面BCC₁B₁内的轨迹是以CC₁中点O为圆心、半径为2的圆弧。通过计算可得圆心角为π/3，所以弧长为2π/3。选项D也是正确的。综合分析，正确答案是A、C、D。现在分析选项A，判断A、B₁、P、N四点是否共面。我们用向量共面判定的方法。计算向量AB₁和PN，发现AB₁等于2倍的PN，说明这两个向量平行，因此四点共面。所以选项A是正确的。接下来分析选项B，求异面直线CD₁与BC₁的夹角。由于BC₁平行于AD₁，所以异面直线CD₁与BC₁的夹角就是∠AD₁C。通过计算可以发现，三角形AD₁C是等边三角形，所以角度是π/3即60度，而不是题目中的π/4。因此选项B是错误的。现在分析选项C，关于三棱锥A₁-BDQ的体积。当Q在线段B₁C上运动时，由于B₁C平行于A₁D，所以B₁C平行于平面A₁BD。这意味着Q到平面A₁BD的距离保持恒定，而底面积也是恒定的，因此体积为定值4/3。选项C是正确的。最后分析选项D，关于点Q的轨迹。当NQ等于2√2时，Q在侧面BCC₁B₁内的轨迹是以CC₁中点O为圆心、半径为2的圆弧。通过计算可得圆心角为π/3，所以弧长为2π/3。选项D也是正确的。综合分析，正确答案是A、C、D。

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