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二次函数是数学中的重要函数类型。它的一般形式是f(x)等于ax²加bx加c，其中a不等于零。系数a决定抛物线的开口方向，b影响对称轴位置，c是函数图像与y轴的交点。例如函数f(x)等于x²减2x加1，它的图像是一条开口向上的抛物线。
二次函数是数学中的基本函数类型，其一般形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a 不等于零。二次函数的图像是一条抛物线，具有优美的对称性质。在物理学中，抛物线描述了物体在重力作用下的运动轨迹；在工程学中，它被用于设计桥梁和拱门；在经济学中，用于描述成本和收益的关系。
二次函数的图像是抛物线，具有独特的几何特征。当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，开口向下。对称轴是直线x等于负b除以2a。顶点是抛物线的最高点或最低点。系数a的绝对值决定抛物线的胖瘦：绝对值越大，抛物线越窄；绝对值越小，抛物线越宽。
二次函数的顶点式是 f(x) = a(x - h)² + k，其中 (h, k) 是顶点坐标。要将一般式转化为顶点式，我们使用配方法。首先提取二次项系数，然后在括号内配成完全平方式。配方法的关键是加减同一个数，使得括号内成为完全平方式。这样我们就能直接读出顶点坐标和对称轴方程。
二次方程的根可以通过公式法求得：x 等于负b加减根号下b²减4ac，再除以2a。判别式Delta等于b²减4ac，它决定了方程根的性质。当Delta大于零时，方程有两个不同的实根，抛物线与x轴有两个交点；当Delta等于零时，方程有一个重根，抛物线与x轴相切；当Delta小于零时，方程无实根，抛物线与x轴无交点。
二次函数在现实生活中有广泛的应用。在物理学中，它描述抛物运动的轨迹；在经济学中，用于分析成本和收益的关系；在工程学中，桥梁的拱形设计常采用抛物线形状。例如，一个球被抛出后的高度可以用二次函数 h(t) = -5t² + 20t + 1 来描述，其中t是时间，h是高度。通过分析这个函数，我们可以求出球达到最高点的时间和高度，以及球落地的时间。
二次函数的顶点式是 f(x) = a(x - h)² + k，其中 (h, k) 是顶点坐标。要将一般式转化为顶点式，我们使用配方法。以 f(x) = x² - 4x + 3 为例：首先在 x² - 4x 后面配成完全平方，即加上和减去 4，得到 (x² - 4x + 4) - 4 + 3，然后化简为 (x - 2)² - 1。这样我们就能直接看出顶点坐标是 (2, -1)，对称轴是 x = 2。
二次函数具有重要的性质。首先是单调性：在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。其次是最值性：当a大于零时，顶点处取得最小值；当a小于零时，顶点处取得最大值。还有对称性：图像关于对称轴完全对称。以函数f(x)=x²-4x+3为例，对称轴是x=2，顶点是(2,-1)，最小值是-1，在区间负无穷到2上递减，在区间2到正无穷上递增。