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一元二次函数是形如f(x)等于ax²加bx加c的函数，其中a不等于0。这里a是二次项系数，决定抛物线的开口方向；b是一次项系数，影响对称轴的位置；c是常数项，决定函数图像与y轴的交点。条件a不等于0非常重要，它保证了函数确实是二次函数，图像呈现抛物线形状。
抛物线有三个重要的基本性质。首先是开口方向，当a大于0时抛物线开口向上，当a小于0时开口向下。其次是对称轴，公式为x等于负b除以2a。第三是顶点坐标，可以用公式计算，也可以通过配方法将一般式转换为顶点式。现在我们来观察当a的值改变时，抛物线形状的变化。
二次函数有三种常用的表达形式。一般式适合直接观察系数，顶点式便于确定顶点和对称轴，两根式则直接显示函数的零点。这三种形式可以相互转换。以x²减4x加3为例，通过配方法可得到顶点式，通过因式分解可得到两根式。图像显示了同一个函数的三种表示对应的关键特征点。
判别式Delta等于b²减4ac，它决定了二次函数与x轴交点的个数。当Delta大于0时，抛物线与x轴有两个不同的交点，对应两个不同的实根。当Delta等于0时，抛物线与x轴相切，只有一个交点，对应一个重根。当Delta小于0时，抛物线与x轴没有交点，方程无实根。让我们观察不同判别式值对应的图像变化。
二次函数在实际问题中有广泛应用，特别是最值问题。以商品定价为例：某商品定价x元时，日销量为100减2x件，成本每件20元。利润函数为价格减成本乘以销量，展开后得到二次函数。通过求顶点坐标，可知当定价35元时利润最大，为450元。这类问题的关键是建立正确的函数模型，然后利用二次函数的性质求解最值。