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匀变速直线运动是指加速度恒定的直线运动。在这种运动中，速度与时间的关系为v等于v0加at，其中v0是初速度，a是加速度。我们可以通过v-t图像来直观理解这种运动规律。
微分法是推导运动学公式的重要工具。速度定义为位移对时间的导数，即v等于dx除以dt。由此可得微分关系式dx等于v乘以dt。通过对速度函数进行积分，我们就能求出位移函数。右图展示了微分的几何意义，dx表示位移的微小变化，dt表示时间的微小变化。
现在我们建立积分方程。将速度公式v等于v0加at代入微分关系dx等于v乘以dt，得到dx等于括号v0加at括号乘以dt。对等式两边积分，得到积分dx等于积分括号v0加at括号dt。确定积分上下限，左边从0积分到x，右边从0积分到t。右图中黄色区域表示v-t图像下的面积，这个面积就是位移。
现在进行积分计算。首先将积分拆分为两部分：积分v0dt加上积分at dt。提取常数得到v0乘以积分dt加上a乘以积分t dt。计算基本积分：积分dt等于t，积分t dt等于二分之一t的平方。代入上下限得到最终结果：v0乘以t加上二分之一at的平方。右图显示矩形面积对应v0t项，三角形面积对应二分之一at平方项。
推导完成！我们得到了匀变速直线运动的位移公式：x等于x0加v0t加二分之一at的平方。这个公式包含三个部分：x0是初始位移，v0t是匀速运动产生的位移，二分之一at平方是加速运动产生的位移。右图展示了位移随时间的抛物线变化规律，验证了我们推导结果的正确性。