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群是抽象代数的基本概念。群G是一个集合配上满足封闭性、结合律、有单位元和逆元的运算。子群H是群G的子集，且本身也构成群。群的阶是群中元素的个数。这里展示一个4阶群G和它的2阶子群H。理解这些基础概念对掌握拉格朗日定理至关重要。
陪集是群论中的重要概念。左陪集gH定义为群元素g与子群H中所有元素的乘积组成的集合。构造陪集的步骤是：首先选择一个群元素g，然后将g与子群H中的每个元素相乘，得到陪集gH。例如，在群G等于0123中，子群H等于02，选择元素1，计算1H得到13。这个过程展示了陪集如何将群元素重新组织。
陪集具有三个重要性质。第一，每个陪集都有相同的元素个数，等于子群的阶。第二，不同的陪集要么完全相等，要么完全不相交，没有部分重叠。第三，所有陪集的并集恰好等于整个群，实现了群的完全分割。这个例子展示了6阶群被2阶子群分割成3个互不相交的陪集，每个陪集都有2个元素。这些性质是拉格朗日定理证明的关键基础。
拉格朗日定理陈述：群G的阶等于子群H的阶乘以陪集个数。证明基于陪集的性质：群被陪集完全分割，每个陪集有相同元素个数等于子群的阶，不同陪集互不相交。因此总元素数等于每个陪集的元素数乘以陪集个数。在这个例子中，6阶群被2阶子群分成3个陪集，验证了6等于2乘以3。这个定理揭示了群结构的基本规律。
拉格朗日定理有三个重要推论。第一，子群的阶必须整除群的阶，这限制了可能存在的子群。第二，素数阶群必为循环群，因为素数只能被1和自身整除。第三，群元素的阶也必须整除群的阶。例如12阶群的子群阶只能是1、2、3、4、6、12，而不能是5、7、8等。这些推论在有限群分类、密码学和组合数学中有广泛应用，是群论的基础工具。