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胡不归问题是一个经典的最优化问题，源于古代诗歌典故。问题描述为：一个人需要从起点A到达终点B，但路径要经过两个不同速度的区域，比如陆地和水面。我们的目标是找到使总时间最短的最优路径。这个问题在数学、物理和工程领域都有重要应用。
现在我们建立数学模型。设起点A的坐标为(0,a)，终点B的坐标为(b,-c)，分界线为x轴。设过渡点P的坐标为(x,0)，其中x是我们要优化的变量。总时间等于两段路程的时间之和：第一段从A到P的时间是根号下x平方加a平方除以v1，第二段从P到B的时间是根号下b减x的平方加c平方除以v2。这样我们就得到了关于x的时间函数T(x)。
运用费马点原理，我们对时间函数T(x)求导。导数等于x除以v1乘以根号x平方加a平方，减去b减x除以v2乘以根号b减x平方加c平方。令导数为零，得到最优条件。这个条件等价于光学中的斯涅尔定律：入射角正弦与折射角正弦的比值等于速度比。通过动画可以看到，当过渡点移动时，不同位置对应不同的总时间，只有满足斯涅尔定律的位置才是最优解。
现在用几何方法验证我们的结果。反射原理提供了一个优雅的几何解法：首先作点B关于分界线的对称点B撇，然后连接A和B撇，这条直线与分界线的交点就是最优过渡点P。这是因为利用对称性质，从A到P再到B的路径长度等于从A直接到B撇的距离。由于两点间直线距离最短，所以AB撇路径对应的时间最短。这个几何解法不仅验证了我们的代数结果，还提供了问题的直观理解。
现在通过一个具体例题来演示求解过程。设A点坐标为(0,3)，B点坐标为(4,1)，分界线为x轴，陆地速度v1等于3，水中速度v2等于1。建立时间函数T(x)，对其求导并令导数为零，解得最优过渡点的x坐标约为3.18。此时的最短时间约为2.83。图中红色路径就是最优路径，相比其他可能的路径，这条路径确实用时最短。