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我们来分析这道关于双曲线和抛物线的综合题目。首先分析抛物线C₂的性质。抛物线方程为x²等于8y，这是标准形式x²等于4py，其中4p等于8，所以p等于2。因此焦点F位于(0,2)，准线方程为y等于负2。这个抛物线开口向上，顶点在原点。
现在确定双曲线的焦点。根据题目条件，双曲线C₁的一个焦点与抛物线C₂的焦点F重合。双曲线方程为y²除以a²减去x²除以b²等于1，这是纵轴型双曲线，焦点在y轴上。焦点坐标为(0,正负c)，其中c²等于a²加b²。由于焦点F为(0,2)，所以c等于2，因此我们得到第一个约束条件：a²加b²等于4。
现在计算双曲线被抛物线准线截得的弦长。将y等于负2代入双曲线方程，得到4除以a²减去x²除以b²等于1。整理得x²等于b²乘以(4减a²)除以a²。当4减a²大于0时，弦长等于2倍根号下b²(4减a²)除以a²，即2b根号(4减a²)除以a。根据题目条件，这个弦长等于2根号3除以3，这给出了第二个约束条件。
现在联立两个方程组求解参数a和b的值。第一个方程是a²加b²等于4，第二个方程是b根号(4减a²)除以a等于根号3除以3。从第二个方程可以得到b等于a根号3除以3倍根号(4减a²)。将这个表达式代入第一个方程，经过代数运算，最终得到3a⁴减25a²加48等于0。解这个关于a²的二次方程，得到a²等于1，b²等于3。因此双曲线C₁的方程为y²减x²除以3等于1。
现在求解第二问。设过焦点F的直线方程为y等于kx加2，代入双曲线方程得到关于x的二次方程。通过分析判别式和交点条件，确定k的取值范围为负1到1之间。利用韦达定理求出两个交点的坐标和，计算向量OA加OB的模长。经过计算发现，当k等于0时模长最小为4，当k趋向于正负1时模长趋向于无穷大。因此向量OA加OB的模长取值范围为4到正无穷。