这个题给我证明一下吧，用中文，并生成尽量详细的视频---Here is the extraction of the content from the image: **Problem 1:** 已知函数 f(x)=a/x + x. (1) 若函数 f(x)的图象在(1, f(1))处的切线经过点(0, -1), 求 a 的值; (2) 是否存在负整数 a, 使函数 f(x)的极大值为正值? 若存在, 求出所有负整数 a 的值; 若不存在, 请说明理由.

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我们来分析这个函数问题。已知函数f(x)等于a除以x加上x。这是一个反比例函数与一次函数的复合。函数的定义域为x不等于0。从图像可以看出，当a大于0时，函数在正负区间都有不同的形状；当a小于0时，函数形状也会发生变化。我们需要解决两个问题：第一个是通过切线条件求参数a，第二个是分析极值的存在性。 现在我们来解决第一问。首先对函数f(x)等于a除以x加上x求导，得到f'(x)等于负a除以x的平方加1。然后计算f(1)等于a加1，f'(1)等于负a加1。切线方程为y减去a加1等于负a加1乘以x减1。由于切线过点(0,-1)，代入得到负1减去a加1等于负a加1乘以负1。解这个方程，得到a等于1。从图中可以看到，当a等于1时，函数在点(1,2)处的切线确实经过点(0,-1)。 现在分析第二问的极值存在性。对函数f(x)求导得到f'(x)等于负a除以x平方加1。令导数等于零，得到x平方等于a。这里需要分情况讨论：当a大于0时，方程x平方等于a有解，x等于正负根号a，此时函数有极值点；当a小于等于0时，x平方等于a无实数解，且f'(x)等于负a除以x平方加1恒大于0，函数单调递增，没有极值。因此，只有当a大于0时，函数才存在极值。 现在判断极值点的性质。我们需要计算二阶导数f''(x)等于2a除以x的三次方。在x等于根号a处，f''(根号a)等于2a除以根号a的三次方，等于2根号a除以a，当a大于0时这个值大于0，所以x等于根号a是极小值点。在x等于负根号a处，f''(负根号a)等于2a除以负根号a的三次方，等于负2根号a除以a，这个值小于0，所以x等于负根号a是极大值点。因此，函数的极大值出现在x等于负根号a处。 现在总结完整的解答过程。第一问通过切线条件，我们建立方程并求解得到a等于1。第二问中，我们首先分析了极值的存在性，发现只有当a大于0时函数才有极值。然后判断极值点性质，确定极大值出现在x等于负根号a处。计算极大值为f(负根号a)等于负2根号a。要使极大值为正，需要负2根号a大于0，即根号a小于0。但是根号a大于等于0恒成立，所以负2根号a小于等于0恒成立。这意味着当a大于0时，极大值恒为负值或零，不可能为正值。因此，不存在负整数a使函数的极大值为正值。