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复合函数是数学中的重要概念，它是由两个或多个函数组合而成的新函数。我们可以把它想象成工厂流水线：输入x首先经过内函数g处理得到g(x)，然后这个结果再经过外函数f处理，最终得到f(g(x))。例如，当f(x)等于x的平方，g(x)等于2x加1时，复合函数f(g(x))就等于2x加1的平方。
现在我们学习如何构造复合函数。给定f(x)等于x的平方，g(x)等于2x加1，我们可以构造两种不同的复合函数。首先构造f(g(x))：将g(x)代入f中，得到f(2x加1)等于2x加1的平方，展开后是4x平方加4x加1。然后构造g(f(x))：将f(x)代入g中，得到g(x平方)等于2倍x平方加1。注意这两个结果完全不同，说明复合函数的顺序非常重要。
复合函数的定义域分析是关键步骤。对于复合函数f(g(x))，定义域必须同时满足两个条件：x要在内函数g(x)的定义域内，同时g(x)的值要在外函数f的定义域内。让我们看一个例子：f(x)等于根号x，g(x)等于x减2，复合函数是根号(x减2)。首先，g(x)的定义域是全体实数。其次，由于f需要输入非负数，所以要求x减2大于等于0，即x大于等于2。因此最终定义域是x属于2到正无穷的区间。
复合函数求值的关键是掌握正确的计算顺序：从内到外逐层计算。让我们通过一个三层复合函数的例子来演示。给定f(x)等于x平方加1，g(x)等于2x，h(x)等于x加3，要求f(g(h(x)))在x等于1时的值。首先计算最内层：h(1)等于1加3等于4。然后计算中间层：g(4)等于2乘以4等于8。最后计算外层：f(8)等于8的平方加1等于65。所以最终答案是65。这个流程图清楚地展示了从输入1开始，经过三个函数的逐层处理，最终得到结果65的完整过程。
复合函数在实际生活中有广泛应用。让我们看一个工厂生产成本的例子。某工厂的单位成本函数是C(x)等于100加500除以x，其中x是日产量。同时，产量随时间变化，x等于50加10t。通过复合函数，我们可以得到成本随时间变化的关系：C(x(t))等于100加500除以(50加10t)。当t等于5时，先算产量：x(5)等于50加50等于100件。然后算单位成本：C(100)等于100加5等于105元。这样，复合函数帮助我们分析了时间、产量和成本之间的复杂关系，在实际决策中非常有用。