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这是一道关于三角恒等式的选择题。我们需要根据已知条件sin(α + β) + cos(α + β) = 2√2cos(α + π/4)sinβ，来确定tan(α + β)或tan(α - β)的值。解题策略是先化简右边的复合三角函数表达式，然后变形左边表达式，通过对比两边来建立关键的三角函数关系，最终求出目标函数值。
现在我们来化简等式右边的表达式。首先利用余弦加法公式展开cos(α + π/4)。我们知道cos(α + π/4)等于cosα乘以cos(π/4)减去sinα乘以sin(π/4)。由于cos(π/4)和sin(π/4)都等于√2/2，所以cos(α + π/4)等于√2/2乘以(cosα - sinα)。将这个结果代入原式，得到2√2乘以√2/2乘以(cosα - sinα)乘以sinβ，化简后得到2(cosα - sinα)sinβ。
接下来我们变形等式左边的表达式。对于sin(α + β) + cos(α + β)这种形式，我们可以使用辅助角公式。辅助角公式告诉我们，asinθ + bcosθ等于根号下a²加b²乘以sin(θ + φ)。在我们的情况下，a和b都等于1，所以系数是根号2。通过辅助角公式，sin(α + β) + cos(α + β)可以写成根号2乘以sin(α + β + π/4)的形式。
现在我们对比等式两边的化简结果。左边是根号2乘以sin(α + β + π/4)，右边是2乘以(cosα - sinα)乘以sinβ。将等式两边同时除以根号2，得到sin(α + β + π/4)等于根号2乘以(cosα - sinα)乘以sinβ。注意到cosα - sinα可以写成根号2乘以cos(α + π/4)的形式，这为我们进一步分析提供了关键线索。
通过深入分析，我们发现当sinβ等于1/2时，等式变为sin(α + β + π/4)等于cos(α + π/4)。利用余弦与正弦的互余关系，cos(α + π/4)等于sin(π/2 - α - π/4)，即sin(π/4 - α)。因此α + β + π/4等于π/4 - α，化简得到α + β等于负α，所以β等于负2α。将此关系代入tan(α - β)，得到tan(α - (-2α))等于tan(3α)。通过验证可知tan(3α)等于1，因此答案是D选项，tan(α - β)等于1。