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直角三角形是几何学中最重要的图形之一。它有一个90度的直角，构成直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。斜边是三角形中最长的边。不同形状的直角三角形虽然外观不同，但都具有这个基本特征。
让我们通过著名的3-4-5直角三角形来发现勾股定理。在这个三角形中，两条直角边分别是3和4，斜边是5。我们在每条边上构建正方形，计算它们的面积。直角边上的正方形面积分别是9和16，斜边上的正方形面积是25。我们发现9加16等于25，也就是两个直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形的面积。这就是勾股定理：a²+b²=c²。
现在我们用经典的四个全等直角三角形拼接法来证明勾股定理。首先准备四个完全相同的直角三角形，直角边分别为a和b，斜边为c。将这四个三角形拼接成一个边长为a+b的大正方形，中间留下一个边长为c的小正方形。通过计算面积，大正方形面积等于a+b的平方，也等于中间小正方形面积c²加上四个三角形面积2ab。展开得到a²+2ab+b²=c²+2ab，消去2ab后得到a²+b²=c²，这就完成了勾股定理的证明。
现在我们通过三个典型例题来练习勾股定理的应用。第一题：已知两直角边分别为6和8，求斜边。根据勾股定理，c²等于6²加8²等于100，所以c等于10。第二题：已知斜边为13，一直角边为5，求另一直角边。用勾股定理变形，b²等于13²减5²等于144，所以b等于12。第三题：判断边长为5、12、13的三角形是否为直角三角形。验证5²加12²等于169，正好等于13²，所以这是直角三角形。
勾股定理还有一个重要的逆定理：如果三角形的三边长满足a²+b²=c²的关系，那么这个三角形一定是直角三角形。我们来验证两个例子。第一个例子：边长为8、15、17的三角形。计算8²+15²等于64+225等于289，而17²也等于289，所以8²+15²=17²，因此这是直角三角形。第二个例子：边长为6、8、9的三角形。计算6²+8²等于36+64等于100，而9²等于81，因为100不等于81，所以这不是直角三角形。逆定理为我们提供了判断三角形类型的有效方法。