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勾股定理是数学中一个非常重要的定理。在直角三角形中，有两条直角边a和b，还有一条最长的边叫做斜边c。勾股定理告诉我们：两条直角边的平方和等于斜边的平方，用公式表示就是a²+b²=c²。让我们用3-4-5这个经典的直角三角形来验证一下：3的平方加4的平方等于9加16等于25，正好等于5的平方。
现在我们用几何方法来证明勾股定理。首先构造一个边长为c的大正方形，然后在里面放入4个完全相同的直角三角形，中间会形成一个小正方形。大正方形的面积等于4个三角形的面积加上小正方形的面积。通过计算可以得到：c²等于2ab加上b²减去2ab再加上a²，化简后就得到c²等于a²加b²，这就证明了勾股定理。
现在我们通过三个例题来练习勾股定理的应用。第一题：已知两条直角边分别是3和4，求斜边长度。根据勾股定理，c²等于3²加4²等于9加16等于25，所以c等于5。第二题：已知斜边是5，一条直角边是3，求另一条直角边。用勾股定理变形，a²等于5²减3²等于25减9等于16，所以a等于4。第三题：判断边长为5、12、13的三角形是否为直角三角形。计算5²加12²等于25加144等于169，而13²也等于169，所以这是直角三角形。
勾股定理在生活中有很多实际应用。第一个例子是梯子靠墙问题：一个5米长的梯子，底部距离墙3米，求梯子顶端的高度。用勾股定理计算，h²等于5²减3²等于25减9等于16，所以高度是4米。第二个例子是计算电视屏幕对角线：已知屏幕宽40厘米，高30厘米，对角线长度d²等于40²加30²等于1600加900等于2500，所以对角线长50厘米。第三个例子是建筑中检验墙角是否垂直：测量墙角两边分别3米和4米，如果对角距离正好是5米，说明墙角是直角。