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勾股定理是几何学中的基本定理。它告诉我们，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。用公式表示就是a²+b²=c²。最经典的例子是3-4-5三角形，我们可以验证：3的平方加4的平方等于9加16等于25，正好等于5的平方。
勾股数是一个古老而重要的数学概念。简单来说，勾股数就是满足勾股定理的正整数三元组。也就是说，如果三个正整数a、b、c满足a²+b²=c²的关系，那么它们就构成一组勾股数。这里的关键是，三边长都必须是正整数，不能是小数或者分数。
让我们通过几个经典例子来理解勾股数。最著名的勾股数是3、4、5。我们来验证：3²+4²等于9+16等于25，正好等于5²。另一个例子是5、12、13：5²+12²等于25+144等于169，正好等于13²。还有8、15、17：8²+15²等于64+225等于289，正好等于17²。这些都是完美的勾股数。
现在我们来解决第一个问题。题目给出10和26，要求中间的数。既然这是勾股数，我们可以用勾股定理来求解。设未知数为b，那么10²+b²=26²。计算得出：100+b²=676，所以b²=576。开平方根得到b=24。我们可以验证：10²+24²=100+576=676=26²。所以答案是24。
通过观察表格，我们可以发现一些有趣的规律。第一列的数字3、4、5、6、7、8、9、10都是连续的正整数。经过仔细分析，我们可以得出一个重要的勾股数生成公式：当n为大于2的奇数时，a等于n，b等于n²减1除以2，c等于n²加1除以2。让我们验证这个公式：当n=3时，a=3，b=4，c=5；当n=5时，a=5，b=12，c=13；当n=7时，a=7，b=24，c=25。每一组都完美满足勾股定理。
现在让我们严格证明这个公式。给定a等于n，b等于n²减1除以2，c等于n²加1除以2，我们需要证明a²+b²=c²。将公式代入，得到n²加上n²减1除以2的平方。化简后得到n²加上n⁴减2n²加1除以4。通分后得到4n²加n⁴减2n²加1除以4，即n⁴加2n²加1除以4。这正好等于n²加1除以2的平方，也就是c²。因此公式得到证明。所以第一问的答案确实是24。
现在我们来解决表格中的填空题。题目给出10和26，要求中间的未知数。我们设这个未知数为b。根据勾股定理，10的平方加b的平方等于26的平方。计算得出100加b的平方等于676，所以b的平方等于576。开平方根得到b等于24。让我们验证一下：10的平方加24的平方等于100加576等于676，正好等于26的平方。所以答案是24。
通过仔细观察表格中的数据，我们可以发现一个重要规律。第一列的数字3、5、7、9、11、13都是奇数。经过分析，我们发现：当n为奇数时，可以用公式a等于n，b等于n²减1除以2，c等于n²加1除以2来生成勾股数。让我们验证这个规律：当n等于3时，a等于3，b等于4，c等于5；当n等于5时，a等于5，b等于12，c等于13；当n等于7时，a等于7，b等于24，c等于25。每一组都完美满足勾股定理。
现在我们来介绍更通用的勾股数生成公式。对于任意正整数m大于n，我们有：a等于m²减n²，b等于2mn，c等于m²加n²。让我们证明这个公式：a²加b²等于m²减n²的平方加2mn的平方，展开后得到m⁴减2m²n²加n⁴加4m²n²，化简得到m⁴加2m²n²加n⁴，这正好等于m²加n²的平方，也就是c²。通过几个例子验证：当m=2，n=1时得到3、4、5；当m=3，n=2时得到5、12、13。因此第二问的答案就是这个通用公式。