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二次反比例函数是一类重要的函数,其标准形式为y等于k除以x的平方,其中k是非零常数。这个函数的名称体现了两个特点:反比例表示y与x的平方成反比关系,二次表示分母中含有x的二次方。让我们通过一个具体例子来理解,当k等于1时,函数变为y等于1除以x的平方。
二次反比例函数的图像具有独特的特征。函数的定义域是除零以外的所有实数,值域取决于k的符号。当k大于零时,图像位于第一和第二象限,值域为正实数;当k小于零时,图像位于第三和第四象限,值域为负实数。函数图像以x轴和y轴为渐近线,且关于y轴对称。让我们观察k值变化对图像的影响。
现在我们来分析二次反比例函数的单调性。当k大于零时,函数在负无穷到零和零到正无穷两个区间上都单调递减。这可以通过观察切线斜率来验证,切线斜率始终为负。当k小于零时,函数在这两个区间上都单调递增。需要注意的是,函数在整个定义域上不具有单调性,因为x等于零处不连续。
现在我们来证明二次反比例函数是偶函数。根据偶函数的定义,如果f负x等于f(x),则函数为偶函数。对于f(x)等于k除以x的平方,我们计算f负x等于k除以负x的平方,由于负x的平方等于x的平方,所以f负x等于k除以x的平方,即f(x)。因此函数是偶函数,图像关于y轴对称。
二次反比例函数在物理学中有重要应用,最典型的例子是万有引力定律。引力大小F等于引力常数G乘以两物体质量的乘积,再除以距离r的平方。这表明引力与距离的平方成反比关系。当两个天体距离增加时,它们之间的引力会按距离平方的倒数快速减小,这正是二次反比例函数的特征。