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质数是数学中的基本概念。质数定义为大于1的自然数，只能被1和它本身整除。比如2、3、5、7都是质数，因为它们除了1和自己以外，没有其他因数。而4、6、8、9这些数叫做合数，因为它们有除了1和自己以外的其他因数。
判断一个数是否为质数，我们使用试除法。关键优化是只需检查2到根号n之间的数。以17为例，根号17约等于4.12，所以只需检查2、3、4能否整除17。经检查都不能整除，所以17是质数。而25的根号是5，检查发现25能被5整除，所以25是合数。
前20个质数分别是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71。观察这些质数的分布，我们发现几个重要规律：2是唯一的偶质数，除2外所有质数都是奇数。随着数值增大，质数间的间隔逐渐增大，质数的密度也在减小。
算术基本定理是数论中的重要定理，它说明每个大于1的自然数都可以唯一地分解为质数的乘积。例如12等于2的平方乘以3，30等于2乘以3乘以5，60等于2的平方乘以3乘以5。我们可以用因数分解树来直观地展示这个过程，不断将合数分解，直到得到所有质因数。
欧几里得用反证法证明了质数有无穷多个。假设质数只有有限个p1到pk，我们构造新数N等于所有质数的乘积加1。这个N除以任何已知质数都余1，不能被整除。因此N要么本身是质数，要么有新的质因子，这与假设矛盾。所以质数必定有无穷多个。