视频字幕
对数换底公式是对数运算中的重要工具，它的数学表达式是：以a为底x的对数等于以b为底x的对数除以以b为底a的对数。这个公式可以将任意底数的对数转换为其他底数的对数。在实际应用中，我们经常使用常用对数或自然对数的形式，因为计算器通常只能直接计算这两种对数。通过图像可以看到，不同底数的对数函数形状相似，换底公式正是连接它们的桥梁。
现在我们来严格证明换底公式。首先设log以a为底x的对数等于y，根据对数的定义，这意味着a的y次方等于x。接下来对等式两边取以b为底的对数，得到log以b为底a的y次方等于log以b为底x。利用对数的幂运算法则，左边可以写成y乘以log以b为底a等于log以b为底x。解出y，得到y等于log以b为底x除以log以b为底a。由于y等于log以a为底x，所以我们得到了换底公式：log以a为底x等于log以b为底x除以log以b为底a。证明完毕。
换底公式有两个重要的特殊情况。当新底数b等于10时，我们得到常用对数形式：log以a为底x等于lgx除以lga。当新底数b等于e时，我们得到自然对数形式：log以a为底x等于lnx除以lna。这两种形式在实际计算中非常有用，因为大多数计算器都内置了常用对数和自然对数功能。换底公式还有一个重要推论：log以a为底b乘以log以b为底a等于1。这个推论的证明很简单：根据换底公式，log以a为底b等于1除以log以b为底a，因此它们的乘积等于1。
我们来看第一个例题：计算log以2为底3乘以log以3为底4乘以log以4为底5乘以log以5为底32的值。首先使用换底公式，将所有对数都换成常用对数形式。原式等于lg3除以lg2，乘以lg4除以lg3，乘以lg5除以lg4，乘以lg32除以lg5。观察这个连乘式的规律，我们发现分子分母中有很多相同的项可以约去。lg3、lg4、lg5在分子和分母中都出现，可以相消。最终只剩下lg32除以lg2。因为32等于2的5次方，所以lg32等于5倍lg2，因此结果等于5倍lg2除以lg2，等于5。
我们来看第二个例题：已知log以2为底3等于a，log以3为底7等于b，求log以6为底56的值。首先分析56和6的结构：56等于8乘以7，也就是2的3次方乘以7；6等于2乘以3。利用对数运算法则，log以6为底56等于log以6为底2的3次方加上log以6为底7，等于3倍log以6为底2加上log以6为底7。接下来使用换底公式。log以6为底2等于1除以log以2为底6，而log以2为底6等于log以2为底2加上log以2为底3，等于1加a，所以log以6为底2等于1除以1加a。类似地，log以6为底7等于log以3为底7除以log以3为底6，等于b除以1加a分之1加1，化简得ab除以1加a。最终答案是3加ab除以1加a。