明白了，我将在保留算法推导过程和完整 C++ 代码的基础上，使用更通俗易懂、适合小学生理解的语言来讲解整个题目思路和实现过程，并通过直观例子辅助理解。 我会很快为你整理好优化后的版本。 # 曼哈顿距离与中位数：通俗易懂的算法讲解 ## 问题场景引入 想象你和朋友们住在一个棋盘一样的城市里，每个人的家都分布在不同的位置。现在市长想在城市里建一个展览馆，我们希望选一个**大家总路程最短**的地点，让所有人走到那里总距离最小。这个问题可以形象地类比为：**如何选择一个集合地点，让所有小伙伴来回走的路加起来最少？** 为了更好地理解这个问题，我们可以分解成简单的场景。首先考虑一条直线（比如一条街道）上的情况，再扩展到二维平面。我们会发现，这和数学上的**中位数**有密切关系：中位数就是排在**中间**的那个数，表示一群数据的“中间位置”。接下来，我们通过生活中的例子和直观类比，来一步步理解算法的推导过程。 ## 算法思路 ### 一维情况：用中位数找到最佳位置 先看简单的一维情形：假如所有人的位置都在一条直线上（比如乡村公路或街道）。我们想在这条线上选一个集合点，使得所有人走路距离之和最小。这个**最佳集合点就在所有人的位置中位数那里**。 * **形象类比**：把每个人的位置想象成跷跷板（翘翘板）上的一个小朋友，想找到跷跷板的支点位置使两边平衡。如果集合点偏向左边，左边的小朋友离得近了，但右边的小朋友要走很远；偏向右边则相反。只有当集合点在正中间（中位数的位置）时，左右两边的人数相当，“跷跷板”保持平衡，总路程也最短。就像玩拔河游戏，如果一边的人更多，绳子就会被拉过去；只有两边人数一样时，绳子才能平衡不动。 * **数学直观**：假如集合点在中间位置，两边的人数尽可能接近。如果集合点往左挪一小步，那么右边更多的人就要多走一步，而左边较少的人少走一步。因为右边的人数（记为 Q）大于左边人数（记为 P）时，多出的那些人要多走的路 > 少数人减少的路，总路程会变长。反之往右挪也是如此。所以只有在左右人数相等时（P == Q），也就是在中位数的位置，总距离才达到最小。 *上图：在数轴上选择集合点的位置示意。红色表示集合点偏右导致右侧更多人距离略减但左侧较少人距离大增；蓝色表示偏左类似情况。只有当集合点处于中间位置时（左右人数平衡），总距离无法再减少。* * **举个例子**：如果有5家商店在公路上的位置是1号、3号、7号、8号和9号，那么排好序（1,3,7,8,9）的中位数是7号位置。把货仓建在7号，这样左边有2家，右边也有2家，左右平衡，总运货距离最短。任何偏离7号的位置，都会让一侧商店比另一侧多，导致总路程变长。**因此，在一维情况下，选所有位置的中位数，就是使曼哈顿距离之和最小的点**。 如果一维情况有偶数个点，会出现两个正中间的位置。此时在这两个中间点之间的任何位置总距离都是一样的最小值。比如有4个小朋友站在第2米、第4米、第10米、第12米，那么排好序中间两个位置是4米和10米。**在2米到10米之间任意一点，左右各有两个人**，总路程都一样最小。在这种情况下，我们通常可以任选一个中位位置（例如取较靠中的那个）作为最佳点。换句话说，如果有**两个中间值**，那么任何在它们之间（包含它们本身）的点，都会使总距离达到同样的最小值。 ### 二维情况：将问题分解为两个独立方向 城市里的房屋在二维平面上，我们的曼哈顿距离是横向距离加纵向距离。幸运的是，**二维的曼哈顿距离问题可以拆解为两个一维问题**。什么意思呢？就是我们可以**分别**决定集合点的横坐标和纵坐标，各自让水平方向和竖直方向的总距离最小。 * **横纵分开考虑**：曼哈顿距离 = |x差| + |y差|。总距离 = 所有|x差|之和 + 所有|y差|之和。这两个部分互不影响。因此，我们可以： 1. **水平走廊**：把所有人的x坐标抽出来，当作一维数轴上的位置，同样用中位数找到最佳横向位置X。这相当于决定**在哪条“竖直线”上集合**。 2. **垂直电梯**：把所有人的y坐标抽出来，当作一维直线位置，用中位数找到最佳纵向位置Y。这相当于决定**在哪条“水平线”上集合**。 * **生活类比**：想象城市是棋盘格子，你可以**先选一条南北方向的街道**，再选一条东西方向的街道，最后集合点就是这两条街道的交叉口。选最优街道其实就是在所有街道中找一个位置使横向步行总路程最小，也就是找所有人的**横坐标中位数**所在的那条街。同理，选最优东西向马路就是找**纵坐标中位数**所在的那条路。最终交叉口就是大家走路总和最少的集合点。 * **奇偶情况**：如果朋友人数在某一方向上是奇数个，那么有唯一一个中位数位置；如果是偶数个，在该方向会有两个中间坐标，**从这两个坐标之间的任意位置走，这一方向的总距离都不变**。因此对于偶数情况，最佳横坐标可以有一个范围（介于两个中位数之间），最佳纵坐标也有一个范围。只要集合点的横坐标落在横向最佳范围内，纵坐标落在纵向最佳范围内，那么这个点就是总距离最小的。**横纵两个方向上的选择范围组合起来，往往会形成一个矩形区域内的许多最佳点**。举个简单的例子，如果横坐标在2到4之间都行，纵坐标在5到6之间都行，那么任何(x,y)只要x在\[2,4]且y在\[5,6]，都会有相同的最小总距离。 总结来说，**在二维曼哈顿距离问题中，我们将所有人的横坐标排序取中位数、所有人的纵坐标排序取中位数，分别得到最佳横向位置和最佳纵向位置**。将它们结合就是最佳集合点。如果人数在某个方向上是偶数，那么存在多个等效的最佳位置，我们往往需要考虑那些范围内所有的可能。 ## C++代码实现及讲解 下面我们来看一段完整的 C++ 代码，实现上述算法。代码保留了原始逻辑，并进行了注释讲解，帮助初学者理解每一步的含义： ```cpp #include using namespace std; typedef long long ll; int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); int t; // t 表示测试用例数量 cin >> t; while (t--) { int n; cin >> n; vector x(n), y(n); // 读入每个朋友的坐标 (x[i], y[i]) for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> x[i] >> y[i]; } // 将所有横坐标和纵坐标分别排序 sort(x.begin(), x.end()); sort(y.begin(), y.end()); long long ans; if (n % 2 == 1) { // 如果人数 n 为奇数，每个方向中位数唯一，最佳点只有 1 个 ans = 1; } else { // 如果人数 n 为偶数，计算横坐标两个中间值间的整数个数， // 以及纵坐标两个中间值间的整数个数，然后相乘 ll x_range = x[n/2] - x[n/2 - 1] + 1; ll y_range = y[n/2] - y[n/2 - 1] + 1; ans = x_range * y_range; } cout << ans << "\n"; // 输出满足条件的最佳点的数量 } return 0; } ``` 这段代码按照我们的思路实现了寻找曼哈顿距离最小总和点的算法。下面分步骤解释代码的关键部分： 1. **读入数据**：代码首先读取测试用例数 `t`，然后进入循环处理每个测试用例。对于每个测试，读取 `n`（点的数量），并用两个数组（向量）`x` 和 `y` 来存储所有点的横坐标和纵坐标。这样，我们把所有人的位置拆解成了横纵两个列表。 2. **排序坐标**：使用 `sort` 函数对 `x` 列表和 `y` 列表分别进行从小到大的排序。排序后，列表中的中间位置元素就是中位数。如果有奇数个数，中位数是最中间那个；如果有偶数个数，中间会有两个数（例如排序后位于位置 `n/2 - 1` 和 `n/2` 这两个位置的元素，就是两个中间值）。 3. **根据奇偶选择中位数**：代码通过 `if (n % 2 == 1)` 来判断人数奇偶。如果 `n` 是奇数，那么中位数在排序后列表中是唯一的一个位置，此时 `ans = 1`，表示**只有一个最佳集合点**。这是因为横坐标只有一个中位数位置、纵坐标也只有一个中位数位置，两者交叉就得到唯一的交汇点。 4. **计算最佳范围数量**：如果 `n` 是偶数，那么存在两个中间值。代码计算了横坐标中间的两个值之间包含的整数数目：`x_range = x[n/2] - x[n/2 - 1] + 1`。例如，假设横坐标中间两值是4和7，那么从4到7之间的整数有`7-4+1 = 4`个（即4,5,6,7这四个整数位置都可以作为横坐标的最佳选择）。同理，`y_range` 计算纵坐标中间两值之间包含的整数数目。**这些范围内的所有组合都是最佳位置**，所以最终答案 `ans` 是 `x_range * y_range`，即横向有这么多选择、纵向有那么多选择，组合起来总的最佳点个数就是二者相乘。 5. **输出结果**：最后，`cout << ans` 将计算出的最佳点数量输出。对每个测试用例都会输出一个结果。**这个结果表示有多少个不同的位置都可以使总曼哈顿距离达到最小**。 通过这段代码，我们可以清楚地看到算法的实现过程：**读取数据 -> 排序求中位 -> 根据奇偶计算答案**，逻辑清晰直观，非常符合我们前面推导的思路。 ## 示例演示：坐标集合点的寻找 现在，我们用一个具体例子演示算法的执行过程，加深理解。假设有4个朋友，他们的坐标分别是：(1, 0)、(0, 1)、(-1, 0)、(0, -1)。输入格式如下： ``` 4 1 0 0 1 -1 0 0 -1 ``` 这里 `n = 4`，表示有4个点。我们按代码步骤来模拟： 1. **提取坐标并排序**： * 横坐标集合：`[1, 0, -1, 0]`。排序得到 `x = [-1, 0, 0, 1]`。 * 纵坐标集合：`[0, 1, 0, -1]`。排序得到 `y = [-1, 0, 0, 1]`。 排序后，我们可以找出横坐标的两个中间值和纵坐标的两个中间值： * 对于 `x` 列表（`[-1, 0, 0, 1]`），中间的两个数是第2个和第3个元素（从1开始计数），也就是 `0` 和 `0`。 * 对于 `y` 列表（`[-1, 0, 0, 1]`），中间的两个数同样是 `0` 和 `0`。 2. **确定最佳范围**： 由于 `n` 是偶数，我们看横坐标的两个中位数：都是0。**这表示横坐标只有一个可能的最佳值，就是0本身**（从0到0只有一个整数）。同样，纵坐标的两个中位数也是0，最佳值也是0。换句话说，横向最佳点在x=0这一列，纵向最佳点在y=0这一行。 横坐标范围计算：`x_range = 0 - 0 + 1 = 1`。 纵坐标范围计算：`y_range = 0 - 0 + 1 = 1`。 将它们相乘：`ans = 1 * 1 = 1`。 3. **理解结果**： `ans = 1` 表示**只有1个位置**可以使总曼哈顿距离最小。这个位置具体是哪一点呢？横坐标只能是0，纵坐标只能是0，所以就是坐标 `(0, 0)`。直观来看也是如此：四个朋友分布在上、下、左、右四个方向，正中心 `(0,0)` 就是离大家最近的集合点。每个人到 `(0,0)` 的距离都是1，总距离是 `1+1+1+1 = 4`。如果选其他任何一点，比如 `(1,1)`，有的人距离会变成2，导致总距离和变大。**所以 (0,0) 是唯一使总路程和最小的位置**，程序输出的 `1` 正是最佳位置的数量。 通过这个例子，我们验证了算法的正确性和步骤：先找中位数坐标，然后计算可能的最佳点数量。**(0,0)点既是所有朋友横纵坐标中位数的交汇点，也是曼哈顿总距离最小的集合点**。输出`1`说明最佳地点只有这一处。 --- **小结**：这道曼哈顿距离问题运用了一个重要的数学原理——中位数使绝对距离之和最小。我们用生活中的比喻解释了一维情况下为什么要选中位数位置，再拓展到二维时分别对待横纵两个方向。通过这种通俗讲解，我们明白了寻找最佳集合点其实就是找所有横坐标的中位数和所有纵坐标的中位数，然后结合起来。如果点的数量使得中位数不是唯一的，也就是有**一个范围**都可以达到相同距离，那么就计算出这个范围内可能点的总数作为答案。 希望这样的讲解让算法思路更加清晰易懂！当你再遇到类似“选址”问题时，不妨想想中位数这个“小帮手”，它常常能帮我们快速找到最优解。通过练习和观察生活中的例子，你也可以像玩游戏一样掌握算法的核心思想。祝你学习愉快！