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三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的方程组。在三维空间中，每个一次方程都代表一个平面。因此，三元一次方程组的几何意义就是研究三个平面在空间中的相互位置关系。方程组的解对应于三个平面的交点情况。
当三元一次方程组有唯一解时，对应两种几何情况。情况一是三个平面直接相交于一点，这是最常见的情况。例如这个方程组，通过消元法可以求得唯一解为括号2逗号3逗号1。情况二是三个平面两两相交形成三条直线，但这三条直线最终汇聚于同一点。无论哪种情况，几何上都表现为三个平面有且仅有一个公共交点。
当三元一次方程组无解时，有三种主要的几何情况。情况三是至少有两个平面平行且不重合，如这个例子中前两个方程的系数相同但常数项不同，表示两个平行平面。情况四是三个平面两两相交，但形成的三条交线互相平行，无法找到公共交点。情况五是三个平面有公共交线，但由于系数矛盾导致无解。这些情况在几何上都表现为三个平面没有公共交点。
当三元一次方程组有无穷多解时，也有三种主要的几何情况。情况六是三个平面相交于一条直线，如这个例子中前两个方程实际上是同一个平面，与第三个平面相交形成一条直线，直线上的每一点都是方程组的解。情况七是三个平面完全重合，此时整个平面上的所有点都是解。情况八是两个平面重合，第三个平面与之相交，解集是它们的交线。这些情况的共同特点是解集包含无穷多个点。
总结三元一次方程组的八种几何情况：唯一解对应情况1和2，即三个平面有唯一交点；无解对应情况3到5，即平面间无公共交点；无穷解对应情况6到8，即平面相交成线或重合。判断方法包括化简系数矩阵、计算矩阵的秩、比较系数矩阵与增广矩阵的秩，以及应用克拉默法则。掌握这些方法能够快速判断方程组解的性质，理解其几何意义。