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毕达哥拉斯定理是几何学中最重要的定理之一。它描述了直角三角形中三边的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方。用数学公式表示就是a²+b²=c²，其中a和b是直角边，c是斜边。
我们可以通过几何方法证明毕达哥拉斯定理。构建一个边长为a加b的大正方形，在其内部放置四个全等的直角三角形和一个边长为c的小正方形。大正方形的面积等于四个三角形面积加上小正方形面积，即(a+b)²等于4倍二分之一ab加c²。展开并化简，得到a²+b²=c²。
让我们通过具体数值验证毕达哥拉斯定理。第一个经典例子是3-4-5直角三角形：3的平方加4的平方等于9加16等于25，而5的平方也等于25，验证成功。第二个例子是5-12-13直角三角形：5的平方加12的平方等于25加144等于169，13的平方也等于169，同样验证成功。
毕达哥拉斯定理在实际生活中有广泛应用。在建筑工程中，可以用来检查墙角是否垂直，测量3米和4米，如果对角线为5米则为直角。在导航中，向东走6公里，向北走8公里，直线距离等于根号下6平方加8平方等于10公里。在梯子安全问题中，5米长的梯子靠在4米高的墙上，底部应距墙根号下5平方减4平方等于3米。
毕达哥拉斯定理还有重要的逆定理：如果三角形的三边满足a²+b²=c²，则该三角形是直角三角形。这为判断三角形是否为直角三角形提供了方法。满足这个关系的正整数组称为勾股数，常见的勾股数组有3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25等。这些扩展应用使毕达哥拉斯定理成为几何学中最实用的定理之一。