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等差数列是一种重要的数列类型。在数列中，如果相邻两项的差值保持恒定，我们就称这个数列为等差数列。这个恒定的差值叫做公差，通常用字母d表示。例如数列2、5、8、11、14，每相邻两项的差都是3，所以这是一个公差为3的等差数列。根据这个规律，我们可以推导出等差数列的通项公式：第n项等于首项加上n减1倍的公差。
通项公式a_n等于a_1加上n减1倍的d，可以变形为a_n等于dn加上a_1减d。这表明等差数列的通项公式实际上是关于n的一次函数，其中d是斜率，a_1减d是截距。在坐标系中，等差数列的各项呈直线分布。例如，当首项a_1等于3，公差d等于4时，第10项a_10等于3加上9倍的4，结果是39。
等差数列有一个重要的中项性质：如果m加n等于p加q，那么a_m加a_n等于a_p加a_q。这可以通过通项公式证明。例如在数列2、5、8、11、14、17、20、23、26中，第2项加第8项等于5加23等于28，第4项加第6项等于11加17也等于28，因为2加8等于4加6等于10。特别地，如果a、A、b成等差数列，那么A是a和b的等差中项，等于a加b的一半。
等差数列前n项和可以用倒序相加法推导。将S_n正序和倒序相加，得到2S_n等于n倍的首项加末项，所以S_n等于n倍首项加末项的一半。这也可以写成S_n等于n倍a_1加上n倍n减1倍d的一半。从几何角度看，这相当于计算梯形面积，上底是a_n，下底是a_1，高是n。由于含有n的二次项，S_n是关于n的二次函数。
通过一个综合例题来应用等差数列的各种性质。已知a₃加a₇等于16，a₄乘以a₆等于55，求通项公式和前10项和。利用中项性质，a₃加a₇等于2倍a₅等于16，所以a₅等于8。由于a₄乘以a₆等于a₅减d乘以a₅加d等于a₅的平方减d的平方，代入得64减d的平方等于55，解得d等于正负3。确定通项公式后，利用前n项和公式计算S₁₀等于215。这个例题综合运用了等差数列的通项公式、中项性质和前n项和公式。