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数学定律是数学中经过严格证明的基本规律和普遍原理。它们与定理的区别在于，定律具有更强的基础性和普遍性，而定理是在定律基础上推导出的结论。数学定律构成了整个数学体系的基石，为各个数学分支提供统一的理论框架，就像金字塔的底层支撑着上层建筑一样。
算术基本定律是数学运算的基础规则。交换律告诉我们加法和乘法的运算顺序可以交换，比如三加五等于五加三。结合律说明运算的结合方式可以改变，括号的位置不影响结果。分配律则描述了乘法对加法的分配性质，一个数乘以两数之和，等于分别相乘再相加。这些定律为所有算术运算提供了基本框架。
几何基本定律描述了图形中边长、角度之间的关系。勾股定理是最著名的几何定律，它说明在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。正弦定理适用于任意三角形，描述了边长与对角正弦值的比例关系。余弦定理则是勾股定理的推广，适用于任意三角形，当角度为直角时就退化为勾股定理。
代数重要定律规范了代数运算的基本规则。二项式定理描述了二项式幂的展开，其系数构成著名的帕斯卡三角形。因式分解定律如平方差公式，将复杂表达式分解为简单因子的乘积。指数运算定律规定了幂运算的基本性质，如同底数幂相乘等于底数不变指数相加。这些定律为代数运算提供了系统的理论基础。
微积分基本定律是高等数学的核心。微积分基本定理建立了导数与积分的互逆关系，表明定积分等于原函数在区间端点的差值。洛必达法则用于计算未定式极限，当分子分母都趋于零或无穷时，可以分别求导再求极限。导数描述了函数的瞬时变化率，是微积分理论的基础概念。