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数学中经常遇到求解方程的问题。对于方程x²=4，我们很容易找到解：x等于正负2。但是当我们遇到方程x²=-1时，问题就出现了。在实数轴上，我们找不到任何一个数的平方等于负1。这就是数学发展中遇到的困境，促使我们思考：是否需要扩展数的概念？
为了解决这个问题，数学家引入了虚数单位i，定义i的平方等于负1。这样，方程x²=-1就有了解：x等于正负i。虚数单位i有着奇妙的幂次规律：i的1次方等于i，i的2次方等于负1，i的3次方等于负i，i的4次方等于1，然后又回到循环的起点。这种周期性规律展现了虚数的独特性质。
基于虚数单位i，我们可以定义复数。复数的标准形式是z等于a加bi，其中a叫做实部，b叫做虚部。比如3+4i是一个复数，实部是3，虚部是4。复数可以分为三类：当虚部为0时是纯实数，当实部为0时是纯虚数，其他情况是一般复数。这样，复数就包含了所有实数和虚数，形成了一个完整的数系。
为了更好地理解复数，我们引入复平面的概念。在复平面中，横轴是实轴，纵轴是虚轴。每个复数a+bi都对应平面上的一个点，坐标为(a,b)。比如复数3+4i对应点(3,4)。复平面不仅让复数可视化，还揭示了复数运算的几何意义。例如，复数加法对应向量的平移，这样代数运算就有了直观的几何解释。
复数乘法有着神奇的几何意义。当一个复数乘以i时，它在复平面上逆时针旋转90度。比如1乘以i等于i，几何上就是从实轴正方向旋转到虚轴正方向。i乘以i等于负1，继续旋转90度到实轴负方向。这个规律对所有复数都成立：任何复数乘以i都会逆时针旋转90度。这揭示了复数乘法的本质是旋转变换，为我们理解复数提供了直观的几何视角。