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晶胞是晶体结构的最小重复单元，由晶格参数a、b、c和角度α、β、γ定义。分数坐标表示原子在晶胞中的相对位置，用晶格参数的分数来表示。例如，顶点位置(0,0,0)表示原点，(1,0,0)表示沿a轴方向的顶点。
分数坐标的计算原理很简单。对于晶胞中的任意一个原子，其分数坐标等于其在直角坐标系中的坐标除以对应的晶格参数。例如，原子在直角坐标系中的位置为(1.5, 1.0, 0.5)，晶格参数a=2.0, b=2.0, c=2.0，那么分数坐标就是(0.75, 0.5, 0.25)。
让我们通过一个具体例子来说明分数坐标的计算。假设有一个立方晶系，晶格参数a等于b等于c等于4.0埃。现在有一个原子A，其在直角坐标系中的位置为(2.0, 1.0, 3.0)埃。计算分数坐标：x方向为2.0除以4.0等于0.5，y方向为1.0除以4.0等于0.25，z方向为3.0除以4.0等于0.75。因此原子A的分数坐标为(0.5, 0.25, 0.75)。
分数坐标在晶体学中有广泛的应用。首先，它提供了一种不依赖于具体晶格参数的结构描述方法，便于对比不同材料的结构。其次，分数坐标有助于对称性分析，可以识别等效位置和描述晶体对称操作。最后，在计算应用中，分数坐标用于键长和键角的计算，以及衍射峰位的预测。无论是简单立方、体心立方还是面心立方结构，都可以用统一的分数坐标系统来描述。
分数坐标的计算原理基于简单的数学变换。对于晶胞中任意原子，其分数坐标等于实际坐标除以对应的晶格参数。x方向分数坐标等于x实际除以a，y方向分数坐标等于y实际除以b，z方向分数坐标等于z实际除以c。这种变换建立了笛卡尔坐标系与分数坐标系的对应关系，使得原子位置可以用晶格参数的分数来表示。
以简单立方晶系钋为例，晶格参数a等于3.35埃。顶点原子位于(0,0,0)，其分数坐标仍为(0,0,0)。面心原子位于晶胞面的中心，实际坐标为(1.675, 1.675, 0)，计算分数坐标：1.675除以3.35等于二分之一，所以面心原子的分数坐标为(1/2, 1/2, 0)。体心原子位于晶胞中心，分数坐标为(1/2, 1/2, 1/2)。通过这种方式，我们可以清楚地看到原子在晶胞中的相对位置。
对于非正交晶系，如六方晶系，分数坐标的计算更加复杂。六方晶系的特点是a等于b不等于c，角度α和β等于90度，但γ等于120度。由于晶胞角度不是90度，需要考虑坐标变换矩阵的影响。120度角的余弦值是负二分之一，这会影响x和y坐标的计算。计算步骤包括：首先确定晶格参数和角度，然后应用变换矩阵，最后计算分数坐标。这种方法确保了在非正交晶系中也能准确描述原子位置。
晶体的对称性对分数坐标有重要影响。晶体对称操作包括平移、旋转和反演等。平移操作意味着坐标可以加减整数而保持等效，例如(0.25, 0.5, 0.75)与(1.25, 0.5, 0.75)是等效的。在面心立方结构中，通过对称操作可以从一个原子位置生成其他等效位置。分数坐标具有周期性，这意味着我们可以通过加减整数来表示等效位置，这在晶体结构分析中非常重要。