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函数变换是数学中的重要概念，它能够改变函数图像的位置和形状。今天我们以f(x)等于x的平方为例，来探讨三种基本的函数形式：原函数f(x)、水平平移变换f(x+1)，以及水平压缩变换f(2x)。这个抛物线有几个关键点，包括原点、(1,1)、(-1,1)和(2,4)，这些点将帮助我们理解变换的效果。
f(x+1)表示水平平移变换。当我们将x替换为x+1时，函数图像会向左平移1个单位。这看起来可能有些反直觉，但让我们通过具体例子来理解：原函数在x=0时的值，现在在x=-1时就能得到；原函数在x=1时的值，现在在x=0时就能得到。所以整个图像向左移动了1个单位。记住这个规律：函数内部加1，图像向左移。
f(2x)表示水平压缩变换。当自变量变为2x时，函数图像在水平方向被压缩为原来的二分之一。具体来说，原函数f(x)=x²变为f(2x)=(2x)²=4x²。注意关键点的变化：原来在x=2处的点现在移到了x=1处，原来在x=1处的点现在移到了x=0.5处。这是水平压缩，不要与垂直拉伸混淆。记住f(2x)不等于2f(x)，它们是完全不同的变换。
现在让我们在同一坐标系中比较这三种函数形式。蓝色曲线是原函数f(x)=x²，红色曲线是f(x+1)=(x+1)²，表示向左平移，紫色曲线是f(2x)=4x²，表示水平压缩。从表格中可以看出它们的区别：f(x)是基准状态，f(x+1)是水平平移变换，f(2x)是水平压缩变换。当x=1时，三个函数的值分别是1、4、4，但它们的变换机制完全不同。
总结一下三种函数形式的本质区别：f(x)是原始状态，f(x+1)改变了输入值导致图像左移，f(2x)改变了输入的尺度导致图像压缩。记住关键技巧：内部变换的效果与直觉相反，加1向左移，乘2压缩为二分之一。这些变换在实际中有广泛应用，比如物理学中的波形变换和经济学中的函数调整。理解的关键是：所有变换都发生在自变量上，影响的是函数图像的位置和形状。