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玻耳兹曼统计是统计力学的基础理论，用于描述可区分粒子在不同能级上的分布。系统由N个可区分粒子组成，每个粒子可以占据不同的能级。图中展示了一个简单的三能级系统，6个不同颜色的粒子分别分布在三个能级上，形成了一种特定的微观状态。
微观状态数是玻耳兹曼统计的核心概念。公式Ω等于N的阶乘除以各能级粒子数的阶乘之积。这个公式来源于排列组合原理：N个可区分粒子的全排列数是N阶乘，但由于同一能级上的粒子排列是等价的，需要除以各能级粒子数的阶乘来消除重复计数。这样得到的微观状态数表示系统在给定分布下的所有可能微观状态。
让我们通过具体例子来理解微观状态数的计算。考虑6个可区分粒子分布在3个能级上的情况。对于分布4,2,0，微观状态数等于6的阶乘除以4阶乘乘以2阶乘乘以0阶乘，结果是15。分布3,2,1的微观状态数是60，而分布2,2,2的微观状态数最大，为90。这说明越均匀的分布具有越大的微观状态数，因此出现的概率也越高。
为了找到最概然分布，我们需要在粒子数守恒和能量守恒的约束条件下，最大化微观状态数。使用拉格朗日乘数法和斯特林公式近似，可以将阶乘转换为对数形式进行处理。通过对各能级粒子数求偏导并令其为零，最终推导出玻耳兹曼分布公式：Nᵢ正比于简并度gᵢ乘以玻耳兹曼因子e的负Eᵢ除以kT次方，其中Z是配分函数。
微观状态数的物理意义深远，它通过玻耳兹曼熵公式S等于k乘以ln Ω与热力学熵直接相关。系统总是自发地趋向于微观状态数最大的分布，这正是熵增原理的微观基础。玻耳兹曼统计在理想气体、固体比热、化学平衡等领域有广泛应用。与费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计相比，玻耳兹曼统计适用于可区分的经典粒子，是统计力学的重要基础理论。