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我们要解决一个约束优化问题。已知实数a、b、c满足约束条件a²+b²+c²=9，这表示三维空间中半径为3的球面。我们的目标是求代数式(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²的最大值，这个表达式表示三个变量两两差值的平方和。
让我们对代数式进行变形。首先展开每个平方项，得到2倍的原平方和减去2倍的交叉乘积项。利用约束条件a²+b²+c²=9，我们可以将表达式化简为18减去2倍的ab+bc+ca。因此，问题转化为求ab+bc+ca的最小值。
我们利用完全平方式的恒等式。由于(a+b+c)²等于a²+b²+c²加上2倍的ab+bc+ca，可以得到ab+bc+ca等于(a+b+c)²减9再除以2。由于任何实数的平方都非负，所以ab+bc+ca的最小值是负9/2，此时原式达到最大值27。这在a+b+c=0时取得，比如a=3，b=0，c=-3。
结论是最大值为27。让我们验证一下。当a+b+c=0且满足约束条件时，可以取接近这个最大值的点。虽然理论上的最大值27在约束条件下不能严格达到，但可以无限接近。这类问题展示了约束优化中理论分析与实际计算的结合。
现在我们对目标函数进行代数展开。首先展开每个平方项，合并同类项后得到2倍的原平方和减去2倍的交叉乘积项。利用约束条件a²+b²+c²=9，我们可以将表达式化简为18减去2倍的ab+bc+ca。因此，原问题等价于在约束条件下求ab+bc+ca的最小值。
我们使用拉格朗日乘数法来求解这个约束优化问题。建立拉格朗日函数，对各变量求偏导数并令其为零，得到方程组。通过求解这个方程组，我们可以找到所有的临界点，这些点是函数可能取得极值的位置。
现在分析所有临界点情况。当两个变量相等时，利用约束条件可以求出具体数值。经过计算发现，在所有情况下，ab+bc+ca的最小值都是负9/2。这对应着球面上三个点呈现最大分散状态的配置，此时目标函数达到最大值27。
最终确定答案为27。通过几何直观可以看出，当三个点在球面上呈现最大分散状态时，即形成等边三角形配置时，目标函数达到最大值。虽然理论最大值27在约束条件下不能严格达到，但可以无限接近。这个问题展示了约束优化中理论分析与几何直观的完美结合。