视频字幕
数列是按一定顺序排列的数的序列。数列极限描述了数列项趋向某个固定值的性质。例如数列1/n，当n趋向无穷大时趋向于0。数列极限的严格定义是ε-N定义：对任意ε大于0，存在自然数N，使得当n大于N时，数列项an与极限A的距离小于ε。这个定义的几何意义是：数列的项最终都落在极限值的ε邻域内。
ε-N定义具有严格的逻辑结构。首先是任意性：对任意ε大于0，这意味着无论ε多么小，定义都必须成立。其次是存在性：存在自然数N，这表明我们总能找到合适的N值。最后，当n大于N时，数列项与极限的距离小于ε。让我们通过动画看看不同ε值对应的N选择。当ε变小时，需要更大的N值来保证条件成立。这体现了极限定义的精确性。
现在我们用ε-N定义证明一个经典例子：极限n趋向无穷时1/n等于0。证明步骤如下：首先给定任意ε大于0，然后需要找到N使得当n大于N时，1/n减0的绝对值小于ε。化简这个不等式得到1/n小于ε，即n大于1/ε。因此我们选择N等于1/ε的整数部分。这样当n大于N时，条件就成立了。图中黄色点表示满足条件的数列项，它们都在ε线以下。
现在我们证明一个更复杂的例子：2n加1除以3n减1当n趋向无穷时的极限等于三分之二。首先进行代数变形，将分子通分后化简得到5除以3倍的3n减1。接下来使用放缩技巧，因为3n减1大于2n当n足够大时，所以原式小于5除以6n。最后选择N等于5除以6ε的整数部分。这个证明展示了处理分式极限的标准方法：代数变形加放缩估计。
数列极限是数学分析中的核心概念。当我们说数列an的极限是L时，意思是随着项数n趋于无穷大，数列的项an会无限接近于常数L。这种接近不是到达，而是可以任意接近。
极限的严格定义使用ε-N语言：对于任意给定的正数ε，无论它多么小，都存在正整数N，使得当n大于N时，数列项an与极限L的距离小于ε。这个定义精确地刻画了无限接近的概念。
让我们通过具体例子来理解极限。考虑数列an等于1加1除以n。当n等于1时，a1等于2；当n等于10时，a10等于1.1；当n越来越大时，1除以n越来越小，因此an越来越接近1。这就是极限为1的直观含义。
极限有几个重要性质。首先是唯一性：如果数列的极限存在，那么极限值是唯一的。其次是有界性：如果数列收敛，那么这个数列必定是有界的。最后是运算性质：极限的加法、乘法和除法运算可以分别进行，前提是各个极限都存在且分母不为零。
最后我们证明极限的一个重要性质：如果数列an的极限是A，数列bn的极限是B，那么数列an加bn的极限等于A加B。证明思路是：给定任意ε大于0，我们取ε1等于ε2等于ε的一半。由极限定义，存在N1和N2使得相应条件成立。取N为N1和N2的最大值，当n大于N时，利用三角不等式可得所需结果。这个证明展示了极限理论的系统性和各性质间的逻辑联系。