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圆是平面几何中的基本图形。圆的定义是：平面上到定点距离相等的所有点的集合。这个定点叫做圆心，用字母O表示；相等的距离叫做半径，用字母r表示。现在我们来看圆的形成过程。
圆的方程有多种形式。最简单的是以原点为圆心的圆，其方程为x²+y²=r²。一般情况下，圆心在点(a,b)，半径为r的圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²。这个方程直接体现了圆的几何性质：到圆心距离等于半径。
当已知圆心和半径时，求圆的方程非常直接。例如，求以(2,-1)为圆心，半径为3的圆的方程。我们只需将圆心坐标和半径代入标准方程。圆心是(2,-1)，半径是3，所以方程为(x-2)²+(y+1)²=9。
当已知三个不共线的点时，可以用一般方程法求圆的方程。设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将三个点的坐标分别代入，得到关于D、E、F的三元线性方程组，解出这三个参数即可确定圆的方程。
圆的一般方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0。但并非所有这种形式的方程都表示圆，需要满足成圆条件：D²+E²-4F>0。当满足条件时，可以转换为标准方程，圆心为(-D/2, -E/2)，半径为根号下(D²+E²-4F)除以2。这为我们提供了处理圆方程的另一种重要方法。
现在我们来推导圆的标准方程。设圆心为(a,b)，半径为r，圆上任意一点为(x,y)。根据圆的定义，圆上任意一点到圆心的距离等于半径，即根号下(x-a)²+(y-b)²等于r。将等式两边平方，消除根号，得到圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²。
现在我们将圆的标准方程展开，得到一般方程形式。将(x-a)²+(y-b)²=r²展开，得到x²-2ax+a²+y²-2by+b²=r²。移项整理后得到x²+y²-2ax-2by+(a²+b²-r²)=0。令D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-r²，就得到圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0。
配方法是从一般方程求圆心和半径的重要方法。以x²+y²-4x+6y-3=0为例。首先对x项配方：x²-4x=(x-2)²-4。然后对y项配方：y²+6y=(y+3)²-9。代入原方程得(x-2)²-4+(y+3)²-9-3=0，整理得(x-2)²+(y+3)²=16。因此圆心为(2,-3)，半径为4。
总结圆的方程求法：第一种是标准方程法，当已知圆心和半径时，直接代入标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²。第二种是一般方程法，形式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，但需满足成圆条件D²+E²-4F>0。可通过转换公式求得圆心为(-D/2,-E/2)，半径为根号下(D²+E²-4F)除以2。掌握这两种方法，就能灵活处理各种圆的方程问题。