在学习一元函数时，我们知道导数描述了函数的变化率。但当我们遇到多元函数，比如 z 等于 f(x,y) 时，函数有多个自变量。这时我们需要考虑：当其中一个变量变化时，函数如何变化？这就引出了偏导数的概念。
偏导数的严格定义是：对 x 的偏导数等于当 h 趋于 0 时，f(x+h,y) 减去 f(x,y) 再除以 h 的极限。关键在于固定 y 值不变，只让 x 变化。这样我们就得到了函数在某个方向上的变化率。
偏导数的几何意义非常直观。对 x 的偏导数表示曲面在某点处平行于 xz 平面的切线斜率。我们可以想象用一个平行于 xz 平面的平面去切割曲面，得到一条曲线，偏导数就是这条曲线在该点的切线斜率。同样，对 y 的偏导数表示平行于 yz 平面的切线斜率。
偏导数的计算规则很简单：对 x 求偏导时，将 y 视为常数；对 y 求偏导时，将 x 视为常数。例如函数 f(x,y) = x³ + 2xy² + e^x，对 x 求偏导得到 3x² + 2y² + e^x，这里 y² 被视为常数。对 y 求偏导得到 4xy，这里 x 被视为常数。
让我们通过一个具体例题来巩固偏导数的计算。给定函数 f(x,y) = x²y + 3xy² - 2x + 5。对 x 求偏导时，将 y 视为常数，得到 2xy + 3y² - 2。对 y 求偏导时，将 x 视为常数，得到 x² + 6xy。偏导数在物理学的温度梯度、经济学的边际效用、工程学的应力分析等领域都有重要应用。