已知无穷数列
{
a
n
}
{a
n
}，对于
m
∈
N
∗
m∈N
∗
，若数列
{
a
n
}
{a
n
} 同时满足以下三个条件，则称其具有性质
P
(
m
)
P(m)：
正项性：
a
n
>
0
(
n
=
1
,
2
,
⋯
)
a
n
>0 (n=1,2,⋯)；
有界性：存在常数
T
>
0
T>0，使得
a
n
≤
T
(
n
=
1
,
2
,
⋯
)
a
n
≤T (n=1,2,⋯)；
递推关系：
a
n
+
2
+
a
n
+
1
=
m
(
a
n
+
1
+
a
n
)
(
n
=
1
,
2
,
⋯
)
a
n+2
+a
n+1
=m(a
n+1
+a
n
) (n=1,2,⋯)。
（Ⅰ）（4分）
若
a
n
=
3
+
2
×
(
−
1
2
)
n
(
n
=
1
,
2
,
⋯
)
a
n
=3+2×(−
2
1
)
n
(n=1,2,⋯)，且数列
{
a
n
}
{a
n
} 具有性质
P
(
m
)
P(m)，直接写出
m
m 的值和一个符合条件的
T
T 的值。
（Ⅱ）（5分）
是否存在具有性质
P
(
1
)
P(1) 的数列
{
a
n
}
{a
n
}？若存在，求其通项公式及前
n
n 项和；若不存在，说明理由，并直接写出存在此类数列时
m
m 的取值范围。
（Ⅲ）（6分）
设数列
{
a
n
}
{a
n
} 具有性质
P
(
m
)
P(m) 且各项均为正整数，求证：
{
a
n
}
{a
n
} 是常数列。