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整除是数学中的一个重要概念。当整数a除以整数b，商是整数且余数为0时，我们说a能被b整除，记作b竖线a。比如12除以3等于4，余数为0，所以3整除12。而13除以3等于4余1，余数不为0，所以3不能整除13。
整除具有以下重要性质：首先是反身性，任何非零整数都能整除自己。其次是传递性，如果a整除b且b整除c，那么a也整除c。第三，如果a同时整除b和c，那么a也整除它们的和与差。第四，如果a整除b，那么a也整除b的任意倍数。最后，如果a和b互相整除，那么它们相等或互为相反数。
如果a整除b，那么a叫做b的因数或除数，b叫做a的倍数。比如12的因数有1、2、3、4、6、12，它们都能整除12。而12的倍数有12、24、36、48等等，有无穷多个。一个数的因数个数是有限的，但倍数个数是无限的。
我们可以用一些简单的方法来判断一个数能否被某些数整除。能被2整除的数，个位数字是偶数。能被3整除的数，各位数字之和能被3整除。能被4整除的数，末两位数字组成的数能被4整除。能被5整除的数，个位是0或5。能被9整除的数，各位数字之和能被9整除。这些规律可以帮助我们快速判断整除关系。
整除在数学中有广泛的应用。它是研究质数与合数、最大公约数和最小公倍数的基础，也用于解决各种数论问题和代数式的因式分解。在实际生活中，比如30名学生要分成若干个小组，每组人数相同，我们需要找30的所有因数，即1、2、3、5、6、10、15、30，共有8种分法。整除概念帮助我们解决许多实际问题。
整除具有三个重要性质。第一是传递性：如果a整除b，b整除c，那么a也整除c。比如3整除6，6整除18，所以3整除18。第二是线性组合性质：如果a同时整除b和c，那么a也整除它们的任意线性组合。比如4整除12和8，所以4也整除12加8等于20。第三是倍数性质：如果a整除b，那么a也整除b的任意倍数。比如5整除15，所以5也整除15乘以2等于30。
因数和倍数是整除概念的重要应用。如果a整除b，那么a叫做b的因数，b叫做a的倍数。以18为例，它的因数有1、2、3、6、9、18，共6个，是有限的。而18的倍数有18、36、54、72等等，有无穷多个。两个数的最大公因数是它们共同因数中最大的，比如18和24的最大公因数是6。最小公倍数是它们共同倍数中最小的，18和24的最小公倍数是72。
整除判定法则可以帮助我们快速判断一个数能否被某些数整除。能被2整除的数末位是偶数，能被3整除的数各位数字和能被3整除，能被4整除的数末两位能被4整除，能被5整除的数末位是0或5，能被9整除的数各位数字和能被9整除。比如126，各位数字和是9，9能被3整除，所以126能被3整除。248的末两位是48，48能被4整除，所以248能被4整除。135的各位数字和是9，能被9整除，所以135能被9整除。
整除在实际生活中有广泛应用。比如分组问题：某班48名学生要分成若干小组，每组人数相同，有几种分法？我们需要找48的所有因数。48等于2的4次方乘以3，它的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个，所以有10种分法。整除概念不仅是数学理论的基础，更是解决实际问题的重要工具，在质数判定、约分化简、周期性问题等方面都有重要作用。