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我们来分析这道二次函数题目。已知二次函数f(x)等于ax²加bx加c，满足两个条件：第一个条件f(0)等于2，意思是当x等于0时函数值为2；第二个条件f(x+1)减去f(x)等于2x减1，这是函数的一阶差分条件。我们需要根据这些条件求出函数的具体表达式，然后分析其在指定区间的值域和单调性。
现在我们来逐步求解函数的解析式。首先利用条件f(0)等于2，由于f(0)等于c，所以c等于2。接下来展开f(x+1)，得到a乘以x加1的平方加b乘以x加1加c，展开后得到ax²加2ax加a加bx加b加c。因此f(x+1)减去f(x)等于2ax加a加b。根据条件这个表达式等于2x减1，比较系数得到2a等于2，a加b等于负1。解这个方程组得到a等于1，b等于负2。所以函数的解析式是f(x)等于x²减2x加2。
现在我们来分析函数f(x)等于x²减2x加2的图像和性质。这是一个开口向上的抛物线。通过配方法，我们可以将函数写成f(x)等于x减1的平方加1的形式。从这个顶点式可以看出，函数的对称轴是x等于1，顶点坐标是(1,1)，这也是函数的最小值点。由于二次项系数为正，抛物线开口向上，所以函数在x等于1处取得最小值1。
现在我们来求函数在区间负1到2上的值域。由于对称轴x等于1在区间内部，我们需要计算区间端点和对称轴处的函数值。计算f(-1)等于负1的平方减2乘以负1加2等于5，f(1)等于1减2加2等于1，f(2)等于4减4加2等于2。由于函数在x等于1处取得最小值1，在x等于负1处取得最大值5，所以函数在区间负1到2上的值域是1到5。
最后我们分析函数的单调性。由于f(x)等于x²减2x加2，对称轴是x等于1，所以函数在负无穷到1上单调递减，在1到正无穷上单调递增。要使函数在区间[a, a+1]上单调，整个区间必须位于对称轴的同一侧。有两种情况：第一种是a加1小于等于1，即a小于等于0，此时区间在对称轴左侧，函数单调递减；第二种是a大于等于1，此时区间在对称轴右侧，函数单调递增。因此a的取值范围是a小于等于0或a大于等于1。