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连通图是图论中的基本概念。在连通图中，任意两个顶点之间都存在路径。顶点的度数是指与该顶点相连的边数。握手定理告诉我们，所有顶点度数之和等于边数的两倍。这个例子中，顶点A和D的度数为3，顶点B和C的度数为2，总和为10，正好是5条边的两倍。
Euler路径是图论中的重要概念，指经过图中每条边恰好一次的路径。如果这条路径的起点和终点相同，就称为Euler回路。在这个例子中，我们可以找到一条Euler路径：从A开始，依次经过边AB、BD、DC、CA、AD，每条边都恰好经过一次，形成了一个完整的Euler回路。
分析顶点度数的奇偶性是理解Euler路径的关键。当路径经过一个中间顶点时，必须既进入又离开，这意味着每个中间顶点的度数必须是偶数。只有起点和终点可以是奇度顶点，因为起点只需要离开，终点只需要进入。在这个例子中，有四个奇度顶点，所以不存在Euler路径。
Euler定理是图论中的经典定理，它完整地刻画了连通图的Euler性质。定理指出：连通图存在Euler回路当且仅当所有顶点都是偶度的；连通图存在Euler路径当且仅当恰好有零个或两个奇度顶点。当没有奇度顶点时，可以从任意顶点开始找到Euler回路；当恰好有两个奇度顶点时，必须以这两个奇度顶点作为起点和终点。
通过具体实例来理解Euler定理的应用。著名的柯尼斯堡七桥问题中，四个顶点都是奇度，根据Euler定理，不存在Euler路径，因此无法一笔画完成。而在房屋图形中，只有两个奇度顶点，存在Euler路径，可以从一个奇度顶点开始，在另一个奇度顶点结束，完成一笔画。这就是一笔画问题的数学解答。