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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它描述了直角三角形三边之间的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方。在古代中国，人们发现了勾三股四弦五的规律，而在西方，这个定理以古希腊数学家毕达哥拉斯的名字命名。
让我们用最经典的3-4-5直角三角形来验证勾股定理。两直角边分别为3和4，斜边为5。计算两直角边平方和：3的平方是9，4的平方是16，9加16等于25。而斜边5的平方也是25，完全相等，验证了勾股定理的正确性。
这是勾股定理最经典的几何证明方法。我们构造一个边长为a+b的大正方形，内部包含4个相同的直角三角形和1个边长为c的小正方形。大正方形面积等于a+b的平方，也等于4个三角形面积加上小正方形面积。通过面积相等的关系，我们可以推导出a²+b²=c²。
勾股定理不仅是数学理论，更有广泛的实际应用。在建筑工程中，工人用它检验墙角是否为直角。在导航定位中，GPS系统用它计算两点间的直线距离。在工程测量中，可以测量河流宽度等不可直达的距离。在计算机图形学中，用于计算屏幕像素间的距离。在物理学中，用于力的分解与合成等计算。
勾股定理还衍生出勾股数的概念，即满足勾股定理的整数组合，如3-4-5、5-12-13等。勾股定理还可以推广到更一般的情况，如余弦定理适用于任意三角形，三维空间中的距离公式，以及高维空间中的距离计算。这些扩展使得勾股定理成为数学中极其重要的基础定理。
现在我们用几何方法来证明勾股定理。这是最经典的正方形拼接证明法。我们构造一个边长为a加b的大正方形，在其内部巧妙地放置四个完全相同的直角三角形，这样中心自然形成一个边长为c的小正方形。通过比较面积，大正方形的面积等于四个三角形面积加上小正方形面积，经过代数运算就能得出勾股定理。
让我们通过具体的数值例子来验证勾股定理。最著名的是3-4-5三角形，3的平方加4的平方等于9加16等于25，正好等于5的平方。还有5-12-13三角形，5的平方加12的平方等于25加144等于169，等于13的平方。以及8-15-17三角形，计算结果也完全符合。这些被称为勾股数组，是满足勾股定理的整数解。
勾股定理在实际生活中有广泛应用。在建筑工程中，工人通过测量对角线来检验墙角是否为直角，确保建筑质量。在日常生活中，摆放梯子时需要计算安全角度和距离。在导航定位中，GPS系统利用勾股定理计算两点间的直线距离。在工程测量中，可以间接测量河流宽度或山峰高度等难以直接测量的距离。
勾股定理还有一个重要的逆定理：如果三角形的三边满足a²+b²=c²的关系，那么这个三角形一定是直角三角形。这为我们判断三角形是否为直角三角形提供了方法。比如边长为5、12、13的三角形，因为5²+12²等于13²，所以是直角三角形。而边长为3、4、6的三角形，因为3²+4²不等于6²，所以不是直角三角形。