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我们需要分析在已知条件a减b大于0的约束下，使得a²+ab+b²+3a+3b+1>0恒成立的条件。这是一个在约束条件下求不等式恒成立的问题。图中蓝色区域表示满足a大于b的约束区域。
我们首先对原表达式进行重组变形。将a²+ab+b²+3a+3b+1重写为a²+ab+b²+3(a+b)+1。然后利用配方法，将a²+ab+b²写成(a+b)²-ab的形式。令s等于a+b，表达式变为s²-ab+3s+1。这样的变形为后续分析奠定了基础。
我们使用换元法来简化问题。设s等于a加b，t等于a减b，其中t大于0。通过反解可得a等于s加t除以2，b等于s减t除以2。因此ab等于s²减t²除以4。将这些代入原表达式，得到关于s和t的新表达式：3s²加t²除以4再加3s加1。这样将二元问题转化为更易分析的形式。
将表达式看作关于s的二次函数，系数为四分之三大于0，开口向上。计算判别式得到负3倍t²加1，由于t²大于等于0，所以判别式恒小于0。这意味着二次函数没有实根，且由于开口向上，函数值恒为正。因此原不等式在约束条件a大于b下恒成立。
综合以上分析，我们得出最终结论：当a减b大于0时，不等式a²+ab+b²+3a+3b+1>0恒成立。证明过程通过换元法将问题转化为二次函数分析，利用判别式小于0且开口向上的性质，证明了函数值恒为正。从几何角度看，在坐标平面上a大于b的半平面内，原不等式始终成立。