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极限是高等数学的核心概念。让我们通过函数f(x)=x²来理解极限的含义。当x逐渐趋近于2时，函数值趋近于4。极限记号表示这种趋近过程，强调的是趋近但不一定到达的思想。
极限是高等数学中最重要的基础概念之一。它描述了当自变量趋向某个值时，函数值的变化趋势。极限概念为微积分的发展奠定了严格的理论基础。
ε-δ定义是极限的精确数学表述。对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当x在a的δ邻域内时，函数值f(x)就在L的ε邻域内。这个定义严格刻画了'任意接近'的含义。
在某些情况下，函数从左侧和右侧趋向某点的极限值可能不同。左极限是x从左侧趋向a时的函数值，右极限是x从右侧趋向a时的函数值。只有当左极限和右极限都存在且相等时，该点的极限才存在。
极限的运算法则包括加法法则、乘法法则、除法法则和常数倍法则。加法法则表明两个函数和的极限等于各自极限的和。乘法法则类似。除法法则要求分母的极限不为零。常数倍法则说明常数可以提到极限符号外面。这些法则使复杂函数的极限计算变得简单。
数学中有一些重要的极限公式。第一个重要极限是当x趋向0时，sin(x)/x的极限等于1。第二个重要极限涉及自然常数e的定义。这些重要极限在微积分的发展中起到关键作用，为导数和积分的定义提供了理论基础。
左右极限是极限概念的重要扩展。左极限表示x从左侧趋向a时函数的极限值，右极限表示x从右侧趋向a时的极限值。函数在某点的极限存在，当且仅当左极限和右极限都存在且相等。对于分段函数，在间断点处经常出现左右极限不相等的情况。
极限的运算法则为我们计算复杂函数的极限提供了强有力的工具。加法法则表明两个函数和的极限等于各自极限的和。乘法法则和除法法则类似，但除法法则要求分母的极限不为零。夹逼定理是另一个重要工具，当一个函数被两个极限相等的函数夹在中间时，该函数的极限也等于这个共同值。
重要极限公式是极限理论中的核心内容。第一个重要极限是当x趋向0时，sin(x)/x的极限等于1。第二个重要极限定义了自然常数e。这些极限公式在微积分中有广泛应用，特别是在导数和积分的定义中起到关键作用。通过变形和替换，我们可以利用这些基本极限求解更复杂的极限问题。