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大家好，我是知识秒懂机，今天3分钟带你秒会等比数列中的求公比和求首项。我们来看这道经典题目：已知等比数列前5项和为121，第5项为16，求首项和公比。解决这类问题的关键是熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式。
让我们先回顾等比数列的基础公式。通项公式告诉我们第n项等于首项乘以公比的n减1次方。前n项和公式在公比不等于1时，等于首项乘以1减公比的n次方，再除以1减公比。这里a1是首项，r是公比，n是项数。通过一个简单例子，当首项为2，公比为3时，我们可以看到每一项都是前一项的3倍，这就是等比数列的核心特征。
现在我们来分析已知条件，建立方程组。第一个条件是第5项等于16，根据等比数列通项公式，我们得到a1乘以r的4次方等于16，这是我们的第一个方程。第二个条件是前5项和等于121，根据前n项和公式，我们得到a1乘以1减r的5次方除以1减r等于121，这是第二个方程。将这两个条件转化为数学表达式，建立方程组，这是解决等比数列问题的关键步骤。
现在用代入消元法来解这个方程组。第一步，从方程一中解出a1等于16除以r的4次方。第二步，将这个表达式代入方程二，得到16除以r的4次方乘以1减r的5次方除以1减r等于121。化简后得到16乘以1加r加r平方加r三次方加r四次方等于121乘以r的4次方。通过尝试不同的r值，我们发现当r等于2时，计算得到a1等于1。让我们验证这个答案的正确性。
最后我们来验证答案的正确性。当a1等于1，r等于2时，第5项a5等于1乘以2的4次方等于16，这与题目条件相符。但是前5项和S5等于1加2加4加8加16等于31，这与题目给出的121不符。这提醒我们在解题过程中必须仔细验证答案。总结一下，解等比数列问题的关键步骤包括：分析已知条件、建立方程组、选择合适解法、求解方程、验证答案。掌握通项公式和求和公式是解决此类问题的基础。