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微積分是數學中研究變化和累積的重要分支，由牛頓和萊布尼茲在17世紀發展而成。它包含三個核心概念：極限、導數和積分。極限描述函數在某點附近的行為，當x無限接近某個值時，函數值的變化趨勢。讓我們通過這個二次函數來觀察當x趨近於2時函數的行為。
極限的精確定義是：當x無限接近a時，如果函數f(x)無限接近某個值L，我們就說函數在x趨近於a時的極限是L。讓我們通過一個具體例題來理解極限的計算。考慮函數(x²-4)/(x-2)在x趨近於2時的極限。雖然直接代入會得到0/0的未定式，但我們可以先約分，將分子因式分解為(x-2)(x+2)，約去公因子x-2，得到x+2。然後代入x=2，得到極限值為4。
導數描述函數在某點的瞬時變化率，其定義為當h趨近於0時，函數增量與自變量增量比值的極限。導數的幾何意義是函數圖形在該點的切線斜率。我們可以通過割線逼近切線來理解這個概念。以f(x)=x²在x=2處為例，計算導數：首先寫出導數定義式，展開(2+h)²，化簡後得到4+h，當h趨近於0時極限為4，這就是切線的斜率。
掌握基本導數公式和求導法則能大大提高計算效率。常用的基本公式包括冪函數、三角函數和指數函數的導數。重要的求導法則有乘積法則和鏈式法則。乘積法則告訴我們兩個函數乘積的導數等於第一個函數的導數乘以第二個函數，加上第一個函數乘以第二個函數的導數。讓我們看看函數和其導函數的圖形關係。
積分是導數的逆運算，其幾何意義是計算曲線下的面積。我們可以用黎曼和來理解定積分的概念，即用許多小矩形來逼近曲線下的面積。當矩形數量趨於無窮時，矩形面積之和就趨近於曲線下的精確面積。以計算x²從0到2的定積分為例，先求出原函數x³/3，然後計算上限值減去下限值，得到8/3。