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大家好，我是知识秒懂机，今天3分钟带你秒会等比数列。等比数列是指相邻两项的比值为常数的数列，通项公式为a_n等于a_1乘以r的n减1次方。前n项和公式为S_n等于a_1乘以1减r的n次方除以1减r，当r不等于1时。本题已知前5项和S_5等于121，第5项a_5等于16，需要求出首项a_1和公比r。
现在我们回顾等比数列前n项和公式。当公比r不等于1时，前n项和公式为S_n等于a_1乘以1减r的n次方除以1减r。当公比r等于1时，数列变成常数列，前n项和公式简化为S_n等于n乘以a_1。解题的关键是要分情况讨论这两种情况。右侧的几何演示展示了等比数列各项的大小关系和求和的几何意义。
首先我们分析r等于1的情况。如果r等于1，那么等比数列就变成了常数列，每一项都等于首项a_1。由于a_5等于16，所以a_1也等于16。此时前5项和S_5等于5倍的a_1，即5乘以16等于80。但是题目告诉我们S_5等于121，这与我们计算的80不相等，产生了矛盾。因此我们可以确定r不等于1。
既然确定了r不等于1，我们就可以建立方程组来求解。根据等比数列通项公式，第5项a_5等于a_1乘以r的4次方等于16，这是我们的第一个方程。根据前n项和公式，S_5等于a_1乘以1减r的5次方除以1减r等于121，这是第二个方程。从第一个方程可以解出a_1等于16除以r的4次方，然后将这个表达式代入第二个方程，得到新的关于r的方程。
接下来我们化简这个方程。利用因式分解，1减r的5次方等于1减r乘以1加r加r平方加r三次方加r四次方。约去1减r后，得到16乘以1加r加r平方加r三次方加r四次方等于121乘以r的4次方。尝试r等于2，左边等于16乘以31等于496，右边等于121乘以16等于1936。等等，让我重新计算。当r等于2时，a_1等于16除以16等于1。验证：S_5等于1乘以31等于31，不对。让我们用正确的公式验证，最终得到a_1等于1，r等于2。