请生成教学视频---2025优粤一东奥活动数学02 一、解答题 1. 知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法.阅读材料： 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：(1)整体观察 (2)整体设元 (3)整体代入 (4)整体求和等. 例1：分解因式$(x^2+2x)(x^2+2x+2)+1$ 解：将$x^2+2x$看成一个整体，令$x^2+2x=y$ 原式$=y(y+2)+1=y^2+2y+1=(y+1)^2=(x^2+2x+1)^2=(x+1)^4$ 例2：已知$ab=1$，求$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$的值. 解：$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{1+b+1+a}{(1+a)(1+b)}=\frac{2+a+b}{1+a+b+ab}$ 已知$ab=1$，所以$\frac{2+a+b}{1+a+b+1}=\frac{2+a+b}{2+a+b}=1$ 另一种解法： $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{1}{1+a}+\frac{ab}{ab+b}=\frac{1}{1+a}+\frac{ab}{a(b+1)}=\frac{1}{1+a}+\frac{b}{b+1}$ 已知$ab=1$，则$b=\frac{1}{a}$. $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+1/a} = \frac{1}{1+a}+\frac{a}{a+1} = \frac{1+a}{1+a} = 1$ 解：$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{1}{1+a}+\frac{ab}{ab+b}=\frac{1}{1+a}+\frac{b}{1+b}$ 已知$ab=1$， $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b} = \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+1/a} = \frac{1}{1+a}+\frac{a}{a+1} = \frac{1+a}{1+a} = 1$ 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式$(x^2-6x+8)(x^2-6x+10)+1$进行因式分解 (2)计算：$(1-2-3-\cdots-2022)\times(2+3+\cdots+2023)-(1-2-3-\cdots-2023)\times(2+3+\cdots+2022)=$ (3)①已知$ab=1$，求$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}$的值. ②若$abc=1$，直接写出$\frac{5a}{ab+a+1}+\frac{5b}{bc+b+1}+\frac{5c}{ca+c+1}$的值

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整体思想是数学解题中的重要方法，通过将复杂的代数表达式看作一个整体来处理，可以大大简化计算过程。整体思想有四种常用途径：整体观察、整体设元、整体代入和整体求和。这种方法能够帮助我们发现问题的本质结构，找到简便的解决方案。 我们来看第一个例子，通过整体设元来进行因式分解。对于表达式 (x²+2x)(x²+2x+2)+1，我们观察发现 x²+2x 重复出现，这是运用整体思想的关键信号。令 y 等于 x²+2x，原式就变成了 y(y+2)+1，化简后得到 y²+2y+1，这是一个完全平方式 (y+1)²。最后将 y 替换回 x²+2x，得到 (x²+2x+1)²，即 (x+1)⁴。 第二个例子展示了整体代入的技巧。已知ab等于1，求 1/(1+a) + 1/(1+b) 的值。方法一是先通分，得到分子为2+a+b，分母为1+a+b+ab，然后整体代入ab=1，结果等于1。方法二更加巧妙，直接利用条件ab=1得到b=1/a，代入后化简，同样得到答案1。这两种方法都体现了整体思想的威力。 现在我们来解决练习题目。第一题是因式分解，我们观察到x²-6x+8和x²-6x+10只相差2，所以令y等于x²-6x+8，原式变为y(y+2)+1，化简得(y+1)²，最终答案是(x-3)⁴。第二题是一个复杂的计算，我们可以设定两个变量A和B来简化表达式，通过整体思想将原式转化为更简单的形式进行计算。 最后我们来看综合应用题目。第三题的第一部分，已知ab=1，求两个分式的和。我们用通分的方法，利用条件a²b²=1，最终得到答案1。第二部分直接给出结果为5。通过这些例题，我们可以总结出整体思想的核心要点：善于观察表达式结构，巧妙运用已知条件，通过变量替换简化计算，从而培养数学思维的整体性和系统性。 我们来看第一个例子，通过整体设元来进行因式分解。对于表达式 (x²+2x)(x²+2x+2)+1，我们观察发现 x²+2x 重复出现，这是运用整体思想的关键信号。令 y 等于 x²+2x，原式就变成了 y(y+2)+1，化简后得到 y²+2y+1，这是一个完全平方式 (y+1)²。最后将 y 替换回 x²+2x，得到 (x²+2x+1)²，即 (x+1)⁴。 第二个例子展示了整体代入的技巧。已知ab等于1，求 1/(1+a) + 1/(1+b) 的值。方法一是先通分，得到分子为2+a+b，分母为1+a+b+ab，然后整体代入ab=1，结果等于1。方法二更加巧妙，直接利用条件ab=1得到b=1/a，代入后化简，同样得到答案1。这两种方法都体现了整体思想的威力。 现在我们来解决第一个练习题目。要分解因式 (x²-6x+8)(x²-6x+10)+1。首先观察结构特点，发现 x²-6x+8 和 x²-6x+10 只相差2，这提示我们可以用整体设元的方法。令 t 等于 x²-6x+8，那么 x²-6x+10 就等于 t+2。代入原式得到 t(t+2)+1，展开后是 t²+2t+1，这是完全平方式 (t+1)²。最后还原变量，得到 (x²-6x+9)²，即 (x-3)⁴。 最后我们来总结整体思想的应用。对于问题2的数列计算，我们通过设定变量A和B来简化复杂的表达式，最终得到答案。问题3展示了在不同条件约束下如何运用整体思想。第一小题答案是1，第二小题答案是5。整体思想的核心要点包括：观察表达式结构寻找重复部分，巧妙设元简化复杂表达式，整体代入已知条件，从而培养数学思维的整体性和系统性。