请给我讲解一下图中的数学题。---**Question 23** **Question Stem:** 已知点A, 点B, 点P都在单位圆上, 且|AB| = √3, 则向量PA · 向量PB的取值范围是 ( ) **Options:** A. [-1/2, 3/2] B. [-1, 3] C. [-2, 3] D. [-1, 2]

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这是一道关于单位圆上向量数量积的问题。已知点A、B、P都在单位圆上，弦长AB等于根号3，我们需要求向量PA与向量PB数量积的取值范围。 首先我们需要确定弦长对应的圆心角。在单位圆中，弦长公式为AB等于2倍sin二分之θ。已知弦长AB等于根号3，代入公式得到sin二分之θ等于二分之根号3，所以二分之θ等于60度，因此圆心角θ等于120度。 接下来建立坐标系来计算向量数量积。设A点坐标为(1,0)，B点坐标为负二分之一、二分之根号三，P点坐标为cos θ、sin θ。这样我们可以得到向量PA和向量PB的坐标表示，为后续计算数量积做准备。 现在我们来计算向量PA与向量PB的数量积。将坐标代入数量积公式，经过展开、合并同类项，利用平方和恒等式，最终得到二分之一减去二分之一倍的cos θ减去二分之根号三倍的sin θ。进一步利用三角恒等式，可以化简为二分之一减去cos括号θ减去三分之π。 最后确定取值范围。由于cos函数的取值范围是负1到1，当cos括号θ减去三分之π等于1时，数量积达到最小值负二分之一；当cos括号θ减去三分之π等于负1时，数量积达到最大值二分之三。因此向量PA与向量PB数量积的取值范围是负二分之一到二分之三，答案是A。