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全微分是多元函数微分学的核心概念。它描述了当多个自变量同时发生微小变化时，函数值变化的线性主要部分。图中显示了一个二元函数的曲面，红色平面代表切平面，绿色和橙色箭头表示自变量的微小变化。
全微分的严格数学定义如下：对于二元函数z等于f(x,y)，在点(x₀,y₀)处，如果函数的全增量可以表示为线性主要部分加上高阶无穷小，那么线性主要部分就是全微分。其中A和B分别是函数对x和y的偏导数。
全微分的几何意义非常直观。想象一个曲面z等于f(x,y)，在某点处有一个切平面。当自变量x和y发生微小变化dx和dy时，全微分dz表示切平面上对应的高度变化，而实际的函数值变化Δz是曲面上的高度变化。当dx和dy很小时，全微分dz是实际变化Δz的很好近似。
让我们通过一个具体例子来理解全微分的计算。考虑矩形面积A等于长乘以宽。当长为5米、宽为3米时，如果长增加0.1米、宽增加0.05米，我们可以用全微分来近似计算面积的变化。面积的全微分等于宽乘以长的变化量加上长乘以宽的变化量，结果为0.55平方米。
全微分在实际中有广泛应用。它可以用于误差估计，帮助我们了解测量误差如何影响最终结果；可以进行多元函数的线性化，简化复杂问题；在工程和物理中进行敏感性分析，了解参数变化对系统的影响。总之，全微分是多元函数微分学的核心概念，它连接了偏导数的理论与实际应用。