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函数极值在几何问题中有着广泛的应用。我们经常遇到这样的问题：在给定约束条件下，如何使某个几何量达到最大值或最小值。比如给定周长求矩形的最大面积，或者给定体积求圆柱体的最小表面积。这些问题的核心都是建立函数关系，然后通过求导找到极值点。
让我们看一个经典的矩形面积最大化问题。给定周长20，求矩形的最大面积。设矩形的长为x，那么宽就是10减x。面积函数为S等于x乘以10减x，即10x减x的平方。对面积函数求导得到10减2x，令导数等于零，解得x等于5。此时矩形变成边长为5的正方形，面积达到最大值25。
现在我们来看圆柱体表面积最小化问题。给定体积10，求圆柱体的最小表面积。设半径为r，则高为10除以π r的平方。表面积等于两个底面积加侧面积，即2π r平方加2π r乘以h。代入高的表达式，得到表面积函数为2π r平方加20除以r。对此函数求导，令导数等于零，解得最优半径约为1.17，此时高约为2.34，高径比恰好等于2。
最短路径问题是另一个经典的几何优化问题。比如从点A到河边取水再到点B，求最短路径。我们可以利用反射原理来解决：作点A关于河的对称点A撇，连接A撇B与河的交点就是最优取水点P。设河为x轴，A点坐标为2逗号3，B点坐标为6逗号1，则A撇的坐标为2逗号负3。最短距离就是A撇B的直线距离，等于4倍根号2，约为5.66。最优取水点P的坐标为3.5逗号0。
最后我们总结一下函数极值的求解方法。一般步骤包括：建立函数关系、确定定义域、求导数、令导数为零、解方程求临界点、判断极值性质、验证边界条件。函数极值在工程设计、经济优化、物理学和建筑结构等领域都有广泛应用。通过这些几何问题的例子，我们可以看到函数极值是连接数学理论与实际应用的重要桥梁，帮助我们在约束条件下找到最优解。